determine o 65° termo da P.A (11,17...)
Soluções para a tarefa
Resposta:
an=11+(65-1)*6
an=11+390-6
an=401-6
an=395
Explicação passo-a-passo:
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (11, 17, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 11
b)vigésimo primeiro termo (a₆₅): ?
c)número de termos (n): 65 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 65ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do sexagésimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e ao ser inserido o primeiro termo na fórmula da razão, pela regra de sinais, tornar-se-á um termo positivo) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 17 - 11 ⇒
r = 6
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o sexagésimo quinto termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₆₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₆₅ = 11 + (65 - 1) . (6) ⇒
a₆₅ = 11 + (64) . (6) ⇒
a₆₅ = 11 + 384 ⇒
a₆₅ = 395
Resposta: O 65º termo da P.A(11, 17, ...) é 395.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₆₅ = 395 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o sexagésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₆₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
395 = a₁ + (65 - 1) . (6) ⇒
395 = a₁ + 64 . 6 ⇒
395 = a₁ + 384 (Passa-se o termo 384 ao 1º membro e altera o sinal.)
395 - 384 = a₁ ⇒
11 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 11 (Provado que a₆₅ = 395.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!