Matemática, perguntado por italosperendis, 10 meses atrás

Determine o 45º termo da P.A. (120, 117, 114,...)

Soluções para a tarefa

Respondido por alvesvinianibu

Resposta:-12

Explicação passo-a-passo:

(120, 117, 114,...)

Deduzimos,que a sequência esta de -3 em -3:

120-3=117

117-3=114

Continue com a sequência até chegar no 45° Termo:

1° Termo->120

2° Termo->117

3° Termo->114

4° Termo->111

5° Termo->108

6° Termo->105

7° Termo->102

8° Termo->99

9° Termo->96

10° Termo->93

11° Termo->90

12° Termo->87

13° Termo->84

14° Termo->81

15° Termo->78

16° Termo->75

17° Termo->72

18° Termo->69

19° Termo->66

20° Termo->63

21° Termo->60

22° Termo->57

23° Termo->54

24° Termo->51

25° Termo->48

26° Termo->45

27° Termo->42

28° Termo->39

29° Termo->36

30° Termo->33

31° Termo->30

32° Termo->27

33° Termo->24

34° Termo->21

35° Termo->18

36° Termo->15

37° Termo->12

38° Termo->9

39° Termo->6

40° Termo->3

41° Termo->0

42° Termo->-3

43° Termo->-6

44° Termo->-9

45° TERMO ->-12

Portanto o 45° termo dessa sequência é -12.

ESPERO TER AJUDADO!

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (120, 117, 114,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente é o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 3 unidades negativas (-3). Se um comportamento deste tipo acontece, tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 120 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)quadragésimo quinto termo (a₄₅): ?

e)número de termos (n): 45

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 45ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do quadragésimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos decrescem, afastam-se do zero, para a esquerda dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e, considerando-se que são três unidades de diferença entre cada termo e que do terceiro ao quadragésimo quinto são quarenta e dois termos, ter-se-ão cento e trinta e duas unidades negativas, mais do que suficiente para alcançar o campo dos negativos. Logo, o termo solicitado igualmente será menor que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 117 - 120 ⇒

r = -3 (Razão negativa, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quadragésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄₅ = 120 + (45 - 1) . (-3) ⇒

a₄₅ = 120 + (44) . (-3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₄₅ = 120 - 132 ⇒

a₄₅ = -12

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).

Resposta: O 45º termo da P.A. (120, 117, 114...) é -12.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄₅ = -12 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quadragésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-12 = a₁ + (45 - 1) . (-3) ⇒

-12 = a₁ + (44) . (-3) ⇒

-12 = a₁ - 132 ⇒

-12 + 132 = a₁ ⇒

120 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 120 (Provado que a₄₅ = -12.)

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