Question

Determine o 45° termo da p.a 3,5,7,...

Answer 1

Resposta:

A_45 = 91

Explicação passo-a-passo:

Fórmula geral da P.A.: A_n = A_1 + (n-1).r

A_n = n-ésimo termo

A_1 = Primeiro termo

n = Termo

r = Razão

Razão = A_2 - A_1 -> r = 5 -3 = 2

Sabendo que o primeiro termo é 3 e a razão é 2:

A_45 = 3 +44.2

A_45 = 3 +88

A_45 = 91

Dúvidas só perguntar!

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (3, 5, 7, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3

b)quadragésimo quinto termo (a₄₅): ?

c)número de termos (n): 45 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 45ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do quadragésimo quinto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 5 - 3 ⇒

r = 2

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o quadragésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄₅ = 3 + (45 - 1) . (2) ⇒

a₄₅ = 3 + (44) . (2) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₄₅ = 3 + 88 ⇒

a₄₅ = 91

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 45º termo da P.A(3, 5, 7, ...) é 91.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄₅ = 91 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quadragésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

91 = a₁ + (45 - 1) . (2) ⇒

91 = a₁ + (44) . (2) ⇒

91 = a₁ + 88 ⇒            (Passa-se 88 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

91 - 88 = a₁ ⇒  

3 = a₁ ⇔                     (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3                          (Provado que a₄₅ = 91.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!