Matemática, perguntado por thalia233, 1 ano atrás

determine o 40 termo da P.A (3,6,9..)

Soluções para a tarefa

Respondido por leonardo757

120
3 é a ordem da PA
3x40 = 120

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (3, 6, 9,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)quadragésimo termo (a₄₀): ?

d)número de termos (n): 40 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 40ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do quadragésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 6 - 3 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quadragésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄₀ = 3 + (40 - 1) . (3) ⇒

a₄₀ = 3 + (39) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₄₀ = 3 + 117 ⇒

a₄₀ = 120

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 40º termo da P.A.(3, 6, 9, ...) é 120.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄₀ = 120 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quadragésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

120 = a₁ + (40 - 1) . (3) ⇒

120 = a₁ + (39) . (3) ⇒

120 = a₁ + 117 ⇒ (Passa-se 117 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

120 - 117 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₄₀ = 120.)

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