Question

determine o 32 termo da pa (-8,0,8)

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-8, 0, 8,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 8 unidades (por exemplo, 0=-8+8 e 8=0+8). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -8

d)trigésimo segundo termo (a₃₂): ?

e)número de termos (n): 32

• Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 32ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do trigésimo segundo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, aproximando-se e depois afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒  

r = 0 - (-8) ⇒

r = 0 + 8 ⇒

r = 8   (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o trigésimo segundo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₂ = -8 + (32 - 1) . (8) ⇒  

a₃₂ = -8 + (31) . (8) ⇒        

a₃₂ = -8 + 248 ⇒

a₃₂ = 240

RESPOSTA: O 32º termo da P.A. (-8, 0, 8, ...) é 240.

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₂ = 240 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o 32º termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

240 = a₁ + (32 - 1) . (8) ⇒

240 = a₁ + (31) . (8) ⇒

240 = a₁ + 248 ⇒

240 - 248 = a₁ ⇒  

-8 = a₁ ⇔              (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -8                   (Provado que a₃₂ = 240.)

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