Matemática, perguntado por kawaneralston, 9 meses atrás

Determine o 18° termo de P.A. (52,44,36,28...)

Soluções para a tarefa

Respondido por ewerton197775p7gwlb

resolução!

r = a2 - a1

r = 44 - 52

r = - 8

a18 = a1 + 17r

a18 = 52 + 17 * (-8)

a18 = 52 + (-136)

a18 = - 84

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (52, 44, 36, 28,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 52

b)décimo oitavo termo (a₁₈): ?

c)número de termos (n): 18 (Justificativa: Embora a P.A. seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 18ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do décimo oitavo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos sempre decrescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero, porque, se se pensar que do quarto termo (28) ao início do campo dos números negativos têm-se vinte e oito unidades e que serão somadas doze vezes menos oito, que corresponde à quantidade de unidades que um termo sucessivo é menor que o seu anterior, inevitavelmente se obterá um valor negativo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 44 - 52 ⇒

r = -8 (Razão negativa, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₈ = 52 + (18 - 1) . (-8) ⇒

a₁₈ = 52 + (17) . (-8) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₈ = 52 - 136 ⇒

a₁₈ = -84

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (+).

Resposta: O décimo oitavo termo da P.A.(52, 44, 36, 28, ...) é -84.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₈ = -84 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-84 = a₁ + (18 - 1) . (-8) ⇒

-84 = a₁ + (17) . (-8) ⇒

-84 = a₁ - 136 ⇒ (Passa-se -136 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

-84 + 136 = a₁ ⇒

52 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 52 (Provado que a₁₈ = -84.)

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