Matemática, perguntado por amandatotustuus, 1 ano atrás

Determine o 15º termo da P.A (-4,2,...)

Soluções para a tarefa

Respondido por JuarezJr

Primeiramente, precisamos determinar a razão entre os termos dessa progressão aritmética.

A razão é a diferença entre dois termos seguidos. Logo:
r = 2 - (-4)
r = 2 + 4
r = 6

Sabemos que o primeiro termo dessa progressão é - 4. Logo:
a₁ = - 4

E como queremos saber o valor do 15º elemento, essa progressão tem 15 elementos. Logo:
n = 15

Agora, basta aplicarmos a fórmula para calcularmos o valor do 15º elemento.
an = a₁ + (n - 1)·r
a₁₅ = - 4 + (15 - 1)·6
a₁₅ = - 4 + 14·6
a₁₅ = - 4 + 84
a₁₅ = 80

Portanto, o 15º termo é 80

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-4, 2,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)décimo quinto termo (a₁₅): ?

d)número de termos (n): 15 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 2 - (-4) ⇒

r = 2 + 4 ⇒

r = 6 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₅ = -4 + (15 - 1) . (6) ⇒

a₁₅ = -4 + (14) . (6) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₅ = -4 + 84 ⇒

a₁₅ = 80

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo quinto termo da P.A.(-4, 2, ...) é 80.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₅ = 80 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

80 = a₁ + (15 - 1) . (6) ⇒

80 = a₁ + (14) . (6) ⇒

80 = a₁ + 84 ⇒ (Passa-se 84 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

80 - 84 = a₁ ⇒

-4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -4 (Provado que a₁₅ = 80.)

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