Question

Determine o 14 termo da PA (1,-7,-15,-23,...)

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (1, -7, -15, -23,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 8 unidades negativas (por exemplo, -7=1+(-8) e -15=-7+(-8)). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 1

d)décimo quarto termo (a₁₄): ?

e)número de termos (n): 14

• Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 14ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do décimo quarto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos decrescem, aproximando-se e depois afastando-se do zero, à esquerda deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero, haja vista que o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor negativo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒  

r = -7 - 1 ⇒

r = -8   (Razão negativa, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo quarto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₄ = 1 + (14 - 1) . (-8) ⇒  

a₁₄ = 1 + (13) . (-8) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₁₄ = 1 - 104 ⇒

a₁₄ = -103

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).

RESPOSTA: O 14º termo da P.A. (1, -7, -15, -23, ...) é -103.

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₄ = -103 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o 14º termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-103 = a₁ + (14 - 1) . (-8) ⇒

-103 = a₁ + (13) . (-8) ⇒

-103 = a₁ - 104 ⇒

-103 + 104 = a₁ ⇒  

1 = a₁ ⇔              (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 1                   (Provado que a₁₄ = -103.)

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