Determine o 101° termo da PA (4, 11, 18....)
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (4, 11, 18, ...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 7 unidades (por exemplo, 11=4+7 e 18=11+7). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 4
d)centésimo primeiro ou 101º termo (a₂₁): ?
e)número de termos (n): 101
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 101ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do centésimo primeiro termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 11 - 4 ⇒
r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo primeiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀₁ = 4 + (101 - 1) . (7) ⇒
a₁₀₁ = 4 + (100) . (7) ⇒
a₁₀₁ = 4 + 700 ⇒
a₁₀₁ = 704
RESPOSTA: O 101º termo da P.A. (4, 11, 18, ...) é 704.
OBSERVAÇÃO 2: Veja, em anexo, a comprovação de que a resposta acima está correta.
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