Question

Determine no triangulo abaixo a medida da hipotenusa, a altura em relação a hipotenusa e a projeção dos catetos sobre a hipotenusa.

Answer 1

Pelo enunciado, infere-se que "a" representa a hipotenusa do triângulo ABC. Nesse sentido, o ângulo  só pode ser de 90°, e, dessa forma, tendo em vista as conclusões, poder-se-á descobrir o valor de "a" pelo teorema de Pitágoras.

$a^2= 12^2 + 16^2\\a= 20$

Com isso, vamos descobrir o valor de "m" e de "n", aplicando, novamente, tal teorema:

$12^2= h^2 + m^2\\16^2= h^2 + n^2$

Porém, m= a-n = 20 - n, então temos o seguinte sistema:

$12^2= h^2 + (20-n)^2\\16^2= h^2 + n^2$

Resolvendo-o:

$12^2= h^2 + (20-n)^2\\16^2= h^2 + n^2\\\\16^2 - n^2= h^2$

Substituindo:

$12^2= (16^2 - n^2) + (20-n)^2\\12^2= 16^2 - n^2 + 20^2 - 40.n + n^2\\12^2= 16^2 + 20^2 - 40.n\\40n= 16.16 + 20.20 - 12.12$

Dividindo a ultima equação tudo por 4:

$40.n= 16.16 + 20.20 - 12.12\\10.n= 4.16 + 5.20 - 3.12\\10.n= 64 + 100 - 36\\10.n= 164 - 36\\10.n= 128\\n= 128/10\\n= 64/5$

Contudo, m= 20-n? Então é só substituir:

$m= 20 - n\\n=64/5\\m= 20-64/5\\m= 100/5 - 64/5\\m= 36/5$

Agora, só falta descobrir o "h" cujo valor pode ser encontrado por estas duas equações. Para tal, irei utilizar a primeira, mas fica a seu critério.

$12^2= h^2 + m^2\\16^2= h^2 + n^2\\\\\\m= 36/5\\n= 64/5\\\\12^2= h^2 + (36/5)^2\\h^2= (36/5)^2 - 12^2\\h^2= 1296/5 - 144\\h^2= 1296/5 - 720/5\\h^2= 576/5\\h= \sqrt{576/5} \\h= 24/ \sqrt{5} \\h= 24.\sqrt{5} /5$

Logo, respostas:

$a=20\\m= 36/5\\n= 64/5\\h= \frac{24.\sqrt{5}}{5}$