Question

Determine, no intervalo (0,+∞), uma solução da forma y(t) = t^α (onde α E R é constante) da equação diferencial t 2y" + 3t y′ + y = 0. A seguir, utilizando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução em tal intervalo. Qual é a solução geral da equação?

Answer 1

Resposta:

• A solução da forma $y(t)=t^{\alpha}$ é dada por $y_1=t^{-1}$.

• Pela redução de ordem obtemos a seguinte solução $y_2=t^{-1}\cdot \ln t$.

• A solução geral é da forma $y(t)=c_1\cdot t^{-1}+c_2\cdot t^{-1}\cdot \ln t$.

Explicação passo a passo:

A equação diferencial dada é conhecida como Equação de Euler-Cauchy cuja solução geral é da forma:

1º caso: Δ > 0 (raízes α e β)

$y(t) = c_1\cdot t^{\alpha}+c_2\cdot t^{\beta}$

2º caso: Δ = 0 (raiz α)

$y(t)=c_1\cdot t^{\alpha}+c_2\cdot t^{\alpha}\cdot \ln x$

3º caso: Δ < 0 (raízes α+βi e α-βi)

$y(t)=t^{\alpha}\cdot [c_1\cdot \cos(\beta\cdot \ln t)+c_2\cdot \text{sen}(\beta\cdot \ln t)]$

Inicialmente temos que a solução da equação

$t^2\cdot y''+3t\cdot y'+y =0$  é da forma:

$y(t)=t^{\alpha}$

Derivando em t temos:

$y'(t)=\alpha\cdot t^{\alpha -1}\\\\y''(t)=\alpha\cdot(\alpha-1)\cdott^{\alpha -2}$

Substituindo na equação diferencial temos:

$t^2\cdot y''+3t\cdot y'+y =0\\\\t^2\cdot \alpha \cdot (\alpha - 1)\cdot t^{\alpha-2}+3t\cdot \alpha \cdot t^{\alpha -1}+t^{\alpha}=0$

Colocando $t^{\alpha}$ em evidência:

$t^{\alpha}\cdot (\alpha^2+2\alpha +1)=0$

Cuja solução da equação característica é dada por:

$\alpha^2+2\alpha+1=0\\\\(\alpha+1)^2=0\\\\\alpha+1=0\\\\\alpha = -1$

Portanto, uma solução particular será:

$y(t)=t^{-1}$

Por outro lado, para aplicar a redução da ordem devemos reescrever a equação colocando-a na seguinte forma:

$y''+P(t)y'+Q(t)y=0$

Cuja método necessita de uma solução para que possamos determinar a outra.

$y_2=y_1\cdot \int\dfrac{e^{-\int P dt}}{y_1^2} dt$

Para tanto basta dividir toda a equação pelo termo $t^2$.

$t^2\cdot y''+3t\cdot y'+y =0\\\\y''+\dfrac{3}{t}y'+\dfrac{1}{t^2}y=0$

Substituindo as informações

$y_1=t^{-1}$ e $P(t)=\dfrac{3}{t}$ temos:

$y_2=y_1\cdot \int\dfrac{e^{-\int P dt}}{y_1^2} dt\\\\y_2=t^{-1}\cdot \int\dfrac{e^{-\int \dfrac{3}{t}dt}}{t^{-2}} dt\\\\y_2=t^{-1}\cdot \int\dfrac{t^{-3}}{t^{-2}} dt\\\\y_2=t^{-1}\cdot \int\dfrac{1}{t} dt\\\\\\y_2=t^{-1}\cdot \ln t$

A solução geral é

$y(t)=c_1\cdot t^{-1}+c_2\cdot t^{-1}\cdot \ln t$