Question

Determine, no conjunto R, o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadrada: *X⁴ - 2X² + 8=0

Answer 1

Resolvendo a equação biquadrada dada por x⁴-2x²+8=0, temos que suas quatro raízes estão no conjunto dos números complexos, portanto, não há respostas no conjunto dos reais.

Equação biquadrada

Uma equação biquadrada, na matemática, é uma equação no seguinte formato:

$\boxed{y=ax^4+bx^2+c}$

Ou seja, é uma equação de quarto grau. Para equações com expoentes maiores que dois, sempre há mais dificuldade para encontrar suas raízes, porém, uma equação biquadrada tem um método de resolução específico que consiste numa substituição algébrica.

Para encontrar suas raízes, basta fazer a seguinte substituição:

$\boxed{Y=x^2}$

Portanto, substituindo agora na equação:

y=aY²+bY+c

Ou seja, agora tem-se uma equação quadrática, que pode ser resolvida com métodos para equações quadráticas.

Portanto, para a questão dada, temos:

$x^4-2x^2+8=0$

Fazendo Y=x², temos:

Y²-2Y+8=0

Agora, aplicando o Teorema de Bháskara:

$Y=\frac{2 \pm \sqrt{4-32}}{2}\\\\Y_1=1+14i\\\\Y_2=1-14i$

Agora, voltando à forma de Y=x²:

$x_1= \pm \sqrt{1+14i}\\\\x_2= \pm \sqrt{1-14i}$

Ou seja, há quatro raízes complexas, portanto, não há resposta para o conjunto dos números reais, como pede o problema.

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