Question

determine, no campo dos números inteiros, o conjunto verdade das equações:
$\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{13}{6} onde \: x \: e \: diferente \: de \: 0 \: e \: x \: e \: diferente \: - 1$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Felipe, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte expressão, no âmbito dos números inteiros:

x/(x+1) + (x+1)/x = 13/6 , com x ≠ 0 e x ≠ -1.

ii) Veja que o mmc dos denominadores, no 1º membro é igual a x*(x+1). Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[x*x + (x+1)*(x+1)]/[x*(x+1)] = 13/6 ---- desenvolvendo, teremos:
[x² + x²+2x+1] / [x²+x] = 13/6 --- reduzindo os termos semelhantes no numerador, ficaremos com:

[2x² + 2x + 1] / [x² + x] = 13/6 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
6*(2x² + 2x + 1] = 13*(x² + x) ---- efetuando os produtos indicados, temos:
12x² + 12x + 6 = 13x² + 13x ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:

0 = 13x² + 13x - 12x² - 12x - 6 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = x² + x - 6 --- ou, invertendo-se, o que é a mesma coisa;
x² + x - 6 = 0 ---- Agora note: se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = -3
x'' = 2.

iii) Assim, como é pedido o conjunto-verdade no ânbito dos números inteiros e considerando que as duas raízes são inteiras, pois tanto "-3" como "2" são números inteiros, então a resposta será:

x = - 3 ou x = 2 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-verdade {x'; x''} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-3; 2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.