Question

Determine na equação x²- mx+ n=0, sabendo que as raízes sao 5 e 15?

Answer 1

Podemos determinar a equação substituindo os valores de x na equação, veja:

 • x = 5

$5^2-5m+n=0 \\ \\ \\ 25-5m+n=0 \\ \\ \\ -5m+n=-25$

 • x = 15

$15^2-15m+n=0 \\ \\ \\ 225-15m+n=0 \\ \\ \\ -15m+n=-225$

Temos uma inequação de incógnita m e n. Vamos encontrar os valores dessas incógnitas, começando a resolver pelo método da adição,

$-5m+n=-25~~~~~.(-1) \\ \\ \\ ~~~~5m-n=25 \\\underbrace{-15m+n=-225} \\ \\ -10m=-200~~~~~.(-1) \\ \\ ~~~~10m=200 \\ \\ ~~~~~~m=20$

Encontrado o m, podemos substituir na outra expressão,

$-5~.~(20)+n=-25 \\ \\ \\ -100+n=-25 \\ \\ \\ n=-25+100 \\ \\ \\ n=75$

Logo,

$\mathbf{x^2-20x+75=0}$

Essa é a equação que a questão pede. Podemos tirar a prova por meio do produto e soma, veja:

  •Temos que encontrar dois valores que somados resulte em ( - b / a ).
  • Esses dois valores que encontrarmos, quando multiplicados, tem que resultar em ( c / a ).

$15+5= 20 \\ \\ 15~.~5=75$

Com isso, comprovamos que a equação satisfaz as duas raízes.

Answer 2

Olá!!!

Resoluçao!!!

se x' = 5, x" = 15 , basta substituir por x , o 5 e o 15

x² - mx + n = 0,

x' = 5

( 5 )² - m • ( 5 ) + n = 0

25 - 5m + n = 0

- 5m + n = - 25

x" = 15

( 15 )² - m • ( 15 ) + n = 0

225 - 15m + n = 0

- 15m + n = - 225

Agora termos um sistema de equação do 1° grau com duas incógnitas, podemos realver no método de adição

{ - 5m + n = - 25 → 1° equação
{ - 15m + n = - 225 → 2° equação

Multiplicando a 2° equação por ( - 1 ) ,

{ - 5m + n = - 25
{ - 15m + n = - 225 • ( - 1 )

{ - 5m + n = - 25
{ 15m - n = 225
————————— +
10m + 0 = 200
10m = 200
m = 200/10
m = 20

Substituindo em qualquer umas das equações acima,, temos :

- 15m + n = - 225
- 15 • ( 20 ) + n = - 225
- 300 + n = - 225
n = - 225 + 300
n = 75

m = 20, n = 75,

Logo , a equação que a questão pede é :

x² - 20x + 75 = 0

Provando que as raízes pertence a essa equação, basta fazer a soma e o produto das raízes em que :

ax² + bx + c = 0

x² - 20 + 75 = 0

ax² + Sx + P = 0

Soma → x' + x" → - b/a → - ( - 20 )/1 → 20

Produto →x' • x" → c/a → 75/1 = 75

Veja :

Soma :

x' + x" = 20
5 + 15 = 20
20 = 20 OK!

Produto :

x' • x" = 75
5 • 15 = 75
75 = 75 OK!

Espero ter ajudado !!