Question

Determine n, sabendo que:
42 nA3= nA5

Answer 1

$42~\cdot~^n\!A_3~=~^n\!A_5\\\\\\42~\cdot~\dfrac{n!}{(n-3)!}~=~\dfrac{n!}{(n-5)!}\\\\\\42~=~\dfrac{n!}{(n-5)!}~\cdot~\dfrac{(n-3)!}{n!}\\\\\\42~=~\dfrac{n!\cdot(n-3)!}{(n-5)!\cdot n!}\\\\\\42~=~\dfrac{n!\cdot(n-3)\cdot(n-3-1)\cdot(n-3-1-1)!}{(n-5)!\cdot n!}\\\\\\42~=~\dfrac{n!\cdot(n-3)\cdot(n-4)\cdot(n-5)!}{(n-5)!\cdot n!}\\\\\\Simplificando~os~termos~semelhantes\\\\\\42~=~\dfrac{1\cdot(n-3)\cdot(n-4)\cdot1}{1\cdot1}\\\\\\42~=~(n-3)\cdot(n-4)\\\\\\n^2-7n+12~=~42$

$n^2-7n-30~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara\\\\\\\Delta~=~(-7)^2-4.1.(-30)~=~49+120~=~\boxed{169}\\\\\\n~=~\dfrac{7\pm\sqrt{169}}{2\cdot1}~=~\dfrac{7\pm13}{2}~~~~\rightarrow~~~~\left\{\begin{array}{ccc}n'&=&10\\\\n''&=&-3\end{array}\right.$

Os resultados achados (n' e n'') satisfazem a equação algébrica obtida a partir da equação fatorial inicial, no entanto não satisfazem, necessariamente, a equação fatorial.

Vamos precisar verificar então.

Sabemos que só é possível calcular o fatorial de números naturais (inteiros positivos), vamos então analisar se todos fatoriais obedecem essa restrição para n' e para n'':

$\underline{Para~~n=n'=10}:~~~~\left\{\begin{array}{cccc}n!&\rightarrow&(10)!&\boxed{\checkmark}\\(n-3)!&\rightarrow&(7)!&\boxed{\checkmark}\\(n-5)!&\rightarrow&(5)!&\boxed{\checkmark}\end{array}\right.\\\\\\\\\underline{Para~~n=n''=-3}:~~~~\left\{\begin{array}{cccc}n!&\rightarrow&(-3)!&\boxed{\times}\\(n-3)!&\rightarrow&(-6)!&\boxed{\times}\\(n-5)!&\rightarrow&(-8)!&\boxed{\times}\end{array}\right.$

Sendo assim, apenas n' satisfaz a equação fatorial dada.

Resposta: n = 10