Question

Determine n a fim de que a sequencia (n-7, n+2, 5n-2) seja uma PG. Qual é a razão da PG obtida?

(por favor, não respondam com tex pois não entendo)
grata!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luiza, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar "n" a fim de que a sequência (n-7; n+2; 5n-2) seja uma PG. Depois disso, pede-se também a razão da PG obtida.

ii) Veja: se a sequência dada é uma PG, então a razão (q) é constante e é obtida pela divisão de cada termo subsequente pelo seu respectivo antecedente. Logo, para que a sequência seja uma PG deveremos ter:

(5n-2)/(n+2) = (n+2)/(n-7) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

(n-7)*(5n-2) = (n+2)*(n+2) ---- efetuando os produtos indicados nos dois membros, teremos:

5n² - 37n + 14 = n² + 4n + 4 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

5n² - 37n + 14 - n² - 4n - 4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:

4n² - 41n + 10 = 0 ---- note que se você aplicar a fórmula de Bháskara, vai encontrar que as raízes serão estas:

n' = 1/4; e n'' = 10

Assim, como você viu, o valor de "n" poderá ser "1/4" ou "10". Assim, quanto ao valor de "n" teremos que:

n = 1/4 ou n = 10 <--- Esta é a resposta quanto aos possíveis valores de "n".

iii) Agora vamos à PG obtida, utilizando-se n = 1/4 e n = 10. Assim teremos:

iii.1) Se n = 1/4, teremos que a sequência (n-7; n+2; 5n-2) será:

(1/4 - 7; 1/4 + 2; 5*1/4 - 2) = (1/4 - 7; 1/4 + 2; 5/4 - 2) ----- agora veja que:

. 1/4 - 7 = -27/4; 1/4 + 2 = 9/4; e 5/4 - 2 = - 3/4. Assim, para n = 1/4, teremos a seguinte PG:

(-27/4; 9/4; -3/4) <--- Esta é a PG se "n" for igual a "1/4". E note que a razão (q) é constante e igual à divisão de cada termo subsequente pelo seu respectivo antecedente, ou seja:

q = (-3/4)/(9/4) ---> q = (-3/4)*(4/9) ---> q = -3*4/4*9 = - 12/36 = - 1/3 (após simplificarmos numerador e denominador por "12")

e

q = (9/4)/(-27/4) ---> (9/4)*(-4/27) = 9*(-4)/4*27 = -36/108 = -1/3 (após simplificarmos numerador e denominador por "36").

Assim, para n = 1/4, temos que a razão da PG será:

-1/3 <--- Esta é a razão da PG se "n" for igual a "1/4".

iii.2) Se n = 10, teremos que a sequência (n-7; n+2; 5n-2) será:

(10-7; 10+2; 5*10-2) = (3; 12; 50-2) = (3; 12; 48) . Assim, para "n" igual a "10", a PG será esta:

(3; 12; 48) <--- Esta é a PG se "n" for igual a "10".

Agora vamos à razão da PG se "n" for igual a "10", que é a vista aí em cima. Note que a razão (q) é constante e é sempre obtida pela divisão de cada termo subsequente pelo seu respectivo antecedente. Assim, teremos que:

q = 48/12 ---> q = 4

e

q = 12/3 ---> q = 4

Assim, se "n" for igual a "10", teremos que a razão será:

4 <--- Esta é a razão da PG se "n" for igual a "10".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.