Question

Determine m para que os pontos A(3,1,0), B(1,0,1) e C(-1,m,2) sejam colineares.

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o os pontos  sejam alinhados o valor de m deve ser: $\large \displaystyle \mathsf{ m = -\: 1 }$.

Para que três pontos estejam alinhados, suas coordenadas devem obedecer a uma condição. Observe a figura em anexo. Na qual  $\textstyle \sf \sf \mathbf{ A\:( \:x_1, y_1}\:)$, $\textstyle \sf \sf \mathbf{ B\:( \:x_2, y_2}\:)$  e  $\textstyle \sf \sf \mathbf{ C\:( \:x_3, y_3}\:)$ na mesma linha.

Decorre a proporção $\textstyle \sf \text { \sf \mathbf{ \dfrac{AQ}{Ap} = \dfrac{CQ}{BP} } }$ , que pode ser escrita como

$\textstyle \sf \text { \sf \mathbf{ \dfrac{x_3 - x_1}{x_2- x1} = \dfrac{y_3 - y_1}{y_2 -y_1} } }$

Portanto, se os pontos $\textstyle \sf \sf \mathbf{ A\:( \:x_1, y_1}\:)$, $\textstyle \sf \sf \mathbf{ B\:( \:x_2, y_2}\:)$ e  $\textstyle \sf \sf \mathbf{ C\:( \:x_3, y_3}\:)$ estão alinhados, então:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf A\: (\: 3, 1 ,0 \:) \\ \sf B\: (\: 1, 0 ,1 \:) \\ \sf C\: (\: -1, m ,2\:) \\ \sf m = \:? \end{cases} } }$

Aplicando o determinante, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf 3 & \sf 1 & \sf 0 \\ \sf 1 & \sf0 & \sf 1 \\ \sf -1 & \sf m & \sf 2 \end{array} = 0 } }$

Resolvendo este determinante pelo método de Sarrus, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r | r r |} \sf 3 & \sf 1 & \sf 0 & \sf 3 & \sf1 \\ \sf 1 & \sf 0 & \sf 1 & \sf1 &\sf 0 \\ \sf -1 & \sf m & \sf 2 & \sf- 1 &\sf m\end{array} = 0 } }$

$\large \text {\sf \sf D_P = 0 - 1 + 0 = - 1}$

$\large \text {\sf \sf D_S = 0 + 3m + 2 = 3m +2}$

$\large \displaystyle \mathsf{ D = D_P - D_S }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 0 = - 1 -(3m +2) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 0 = - 1 - 3m -2 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 3m = - 3 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{3}{-\; 3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m = -\: 1 }$

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