Question

determine m para que os pontos A (-1,m) B (2,-3) e C (-4,5) sejam alinhados e sejam vértice de um triângulo.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar o valor de "m" para que os pontos A(-1;m), B(2; -3) e C(-4; 5) :

a) estejam alinhados
e
b) sejam vértices de um triângulo.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Para que os pontos dados estejam alinhados (ou seja estejam na mesma linha ou na mesma reta), basta que o determinante da matriz formada a partir das coordenadas de cada ponto seja igual a zero.
Assim, formando a matriz e já colocando-a no ponto de desenvolver (regra de Sarrus), teremos:

|-1....m......1|-1....m|
|2....-3......1|2.....-3| = 0 ---- desenvolvendo, teremos:
|-4....5......1|-4......5|

(-1)*(-3)*1+m*1*(-4)+1*2*5 - [(-4)*(-3)*1+5*1*(-1)+1*2*m] = 0
3 - 4m + 10 - [12 - 5 + 2m] = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
-4m + 13 - [2m + 7] = 0 ----- retirando-se os colchetes, ficaremos:
- 4m + 13 - 2m - 7 = 0 --- reduzindo novamente os termos semelhantes:
- 6m + 6 = 0
- 6m = -6 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
6m = 6
m = 6/6
m = 1 <--- Este deverá ser o valor de "m" para que os pontos estejam alinhados.

ii) Para que os pontos dados sejam vértices de um triângulo, então os pontos não deverão estar alinhados. E não estando eles alinhados, então o determinante da matriz formada a partir das coordenadas de cada ponto NÃO deverá ser igual a zero, mas DIFERENTE de zero.
Assim, como a matriz vai ser a mesma e o determinante também, então para que os pontos dados sejam os vértices de um triângulo basta que:

m ≠ 1 <--- Esta é a condição para que os pontos dados sejam vértices de um triângulo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.