Question

Determine m de modo que o valor mínimo da função do 2' grau y= (m-5) x^2 - mx + 8 seja -1.

Answer 1

a>0 para ter valor mínimo, logo
m-5>0 =: m>5

Yv = Ymin = -1
Yv = - Δ/4a

-1 = - Δ/4.a
-1 = -Δ/(4m-20)
-1(4m-20) = - Δ
-4m + 20 = -Δ
Δ = 4m - 20

Δ = b² - 4.a.c

Δ= m² - 4.(m-5)(8)
Δ = m² - (4m-20)(8)
Δ = m² - (32m-160)
Δ = m² - 32m + 160
4m - 20 = m² - 32m + 160
m² - 32m - 4m + 160 + 20 = 0
m² - 36m + 180 = 0

Δ= (-36)² - 4.1.180
Δ =1296 - 720
Δ= 576 -----> cuja raiz é 24

x' = (36 + 24)/2 = 30
x'' = (36 - 24)/2 = 6

Os dois valores satisfazem a condição.

Logo, obtemos dois valores para m. Que tal validar para não ter dúvida que errei algo?

p/ m = 30
y = (m-5) x^2 - mx + 8f(x) = 25x² - 30x + 8

Δ = (-30)² - 4.25.8
900 - 800 = 100= Δ

yv = - Δ/4a

YV = -100/4.25
yv = -100/100
yv = - 1 ----> CORRETO

p/m = 6
y= (m-5) x^2 - mx + 8f(x) = x² - 6x + 8
Δ = 36 - 4 .1.8
36 - 32 = 4 = Δ

Yv = - 4/4.1 = -1

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Logo, os valores de m são => 6 e 30