Question

Determine *m* de modo que o polinômio x^4-mx^2+2x+1, dividido por x+2 dê resto 4

Answer 1

$m=\dfrac{9}{4}$

Nesta questão vamos ter que usar a Divisão de Polinómios.

Esta segue o padrão da divisão manual, desta forma:

$\begin{tabular}{c|cc}Dividendo&Divisor&~\\\cline{2-3}\end{tabular}\\\begin{tabular}{rc}~~~~~~Resto&\!Resultado\end{tabular}$

Como vai funcionar? Geralmente para fazermos divisão de polinómios multiplicamos o Resultado/Quociente ao Divisor para retirar o termo de maior grau, vejamos o exemplo:

$\begin{tabular}{c|cc}x^2+x&x+1&~\\\cline{2-3}\end{tabular}\mathsf{~~~Termo~de~maior~grau:}~x^2\\\\\mathsf{Quanto~devemos~multiplicar~ao~divisor~para~obter}~x^2\mathsf{~?~~Devemos~mutliplicar~por}~x\\(x+1)\times x= x^2+x\\\\\begin{tabular}{c|cc}x^2+x~~~&x+1&~\\\cline{2-3}\end{tabular}\\\begin{tabular}{cc}\!\!\!\!-(x^2+x)&~~x\\\cline{1-1}~~~~~~0\end{tabular}$

Por coincidência retiramos logo o de maior grau, o $x^2$ e o de menor grau, o $x$, ao mesmo tempo. Mas dá para entender o que temos que fazer.

Agora olhando para o nosso caso, vamos retirar os termos de maior grau um de cada vez.

Vamos lá:

$\begin{tabular}{c|cc}x^4-mx^2+2x+1~~~&x+2&~\\\cline{2-3}\end{tabular}\\\begin{tabular}{lc}\!\!\!\!-(x^4+2x^3)&\:(x^3)+(-2x^2)+(-mx)+(4x)+(-6)+(2m)\\\cline{1-1}\!\!-2x^3-mx^2+2x+1\\\!\!\!\!-(-2x^3-4x^2)\\\cline{1-1}\!\!\!-mx^2+4x^2+2x+1\\\!\!\!-(-mx^2-2mx)\\\cline{1-1}\!\!\!+4x^2+2x+2mx+1\\\!\!\!-(4x^2+8x)\\\cline{1-1}\!\!\!-6x+2mx+1\\\!\!\!-(-6x-12)\\\cline{1-1}\!2mx+13\\\!\!\!-(2mx+4m)\\\cline{1-1}-4m+13\end{tabular}$

Ok, vamos ver o que se fez por ordem:

1. Multiplicamos por $x^3$ para retirar o $x^4$;
2. Como apareceu um $-2x^3$ de cima, multiplicamos por $-2x^2$ para     retira-lo.
3. Para retirar o $-mx^2$, multiplicamos por $-mx$.
4. O $4x^2$ saiu ao multiplicar por $4x$.
5. Para retirar o $-6x$ multiplicamos por $-6$.
6. E para retirar o $2mx$ multiplicamos por $2m$.

Logo este polinómio a dividir por $x+2$, tem de resto $-4m+13$.

Mas nós queremos saber o $m$ e o exercício diz que o resto é igual a 4. Então:

$-4m+13=4$

E resolvemos:

$-4m+13=4(=)\\-4m=4-13(=)\\-4m=-9(=)\\m=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}$

Logo $m=\dfrac{9}{4}$.

Resumindo, dividimos os polinómios e depois sabendo que o resto era 4, igualamos e achamos o $m$.

Mais sobre a divisão de polinómios: https://brainly.com.br/tarefa/24997963