Question

Determine m de modo que a função f(x)=x²+4x+2m seja positivo para todo x real.

resposta detalhada por favor.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lucas, que a resolução é simples. Basta apenas você ter conhecimento sobre o estudo de sinais de equações do 2º grau, quando ela tiver raízes reais e quando não tiver nenhuma raiz real

Pede-se para determinar o valor de "m" de modo que a função f(x) = x²+4x+2m seja positivo para todo e qualquer "x" real.

Antes de iniciar, veja que em qualquer equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'', teremos:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < x' ou para x > x'' . Observação: o termo "a" é o coeficiente de x².

ii) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: x' < x < x''.

iii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para: x = x' ou x = x''.

iv) f(x) será SEMPRE positivo se a equação NÃO tiver raízes reais e se o termo "a" for positivo.

v) f(x) será SEMPRE negativo se a equação NÃO tiver raízes reais e se o termo "a" for negativo.

vi) Bem, tendo esses rápidos prolegômenos vistos nos itens acima (do item "i" ao item "v") como parâmetros, então vamos resolver a sua questão.
Pede-se para determinar "m" de modo que a função f(x) = x² + 4x + 2m seja positivo para todo e qualquer "x" real.

Veja que, se queremos que a função f(x) seja SEMPRE positiva para todo e qualquer valor de "x" real, então vamos enquadrar a função dada [f(x) = x²+4x+2m] no item "iv", que diz que f(x) será SEMPRE positivo se a equação não tiver raízes reais e se o termo "a" for positivo. Já vimos que o termo "a" da sua questão é positivo. Então o que falta para que f(x) seja SEMPRE positivo é impormos que o delta da equação dada seja negativo (menor do que zero), pois essa é a condição para que uma equação do 2º grau NÃO tenha raízes reais.

Veja que o delta (b² - 4ac) da função da sua questão será: 4² - 4*1*2m. Então vamos impor que ele seja negativo (menor do que zero). Assim, teremos:

4² - 4*1*2m < 0
16 - 8m < 0 ------ passando "16" para o 2º membro, teremos;
- 8m < - 16 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
8m > 16
m > 16/8
m > 2 ---- Esta é a resposta. Então basta que "m" seja maior do que "2" para que a equação da sua questão seja SEMPRE positiva para todo e qualquer valor de "x'' real.

Observe que quando você multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda (o que era "<" passa pra ">" e vice-versa). Foi o que ocorreu na desigualdade acima, quando multiplicamos ambos os membros por "-1". Notou?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Boa tarde Lucas

seja a função f(x) = x² + 4x + 2m 

solução:
para que essa função seja positivo seu delta deve ser negativo.

a = 1
b = 4
c = 2m

delta
d² = b² - 4ac
d² = 4² - 4*1*2m
d² = 16 - 8m

16 - 8m < 0

8m > 16

m > 2