Question

determine m da equação
(3m-1) x² - (m+8) x+10 = 0
para que uma de suas raizes seja 2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Joãopedro, que a resolução é simples, a exemplo de uma outra questão sua que também respondemos. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para determinar o valor de "m" para que a equação do 2º grau abaixo tenha uma de suas raízes igual a "2":

(3m-1)x² - (m+8)x + 10 = 0


ii) Veja como é simples: toda raiz de uma equação zera essa essa equação ao substituirmos o "x" por ela (pela raiz). Então se formos na equação da sua questão, que é (3m-1)x² - (m+8)x + 10 = 0, ao substituirmos o "x" por "2" a equação vai zerar (aliás, lembre-se que sempre que vamos encontrar raízes de uma equação nós a igualamos a zero. Sabe por quê? Exatamente porque toda raiz zera a equação da qual ela é raiz, perfeito?). 

iii) Então vamos na equação da sua questão [(3m-1)x² - (m+8)x + 10 = 0] e vamos substituir o "x" por "2", já que "2" é uma das raízes. Fazendo isso, teremos:

(3m-1)*2² - (m+8)*2 + 10 = 0 ------ desenvolvendo, teremos: 
(3m-1)*4 - (m+8)*2 + 10 = 0 ---- efetuando os produtos indicados, ficamos:
(12m-4) - (2m+16) + 10 = 0 ---- agora retiramos os parênteses, ficando:
12m - 4 - 2m - 16 + 10 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:

10m - 10 = 0 ---- passando "-10" para o 2º membro, temos: 
10m = 10 ---- isolando "m" vamos ficar com: 
m = 10/10 
m = 1 <--- Esta é a resposta. Ou seja, "m" deverá ser igual a "1" para que a equação da sua questão tenha uma raiz igual a "2".

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos fazer o seguinte: vamos substituir o  "m" por "1" e vamos ver qual será a equação do 2º grau que vai surgir. Em seguida veremos se uma das raízes será mesmo igual a "2". A equação é esta:

(3m-1)x² - (m+8)x + 10 = 0 ---- substituindo-se "m" por "1", teremos: 
(3*1-1)x² - (1+8)x + 10 = 0 ---- desenvolvendo, temos: 
(3-1)x² - (1+8)x + 10 = 0 ---- continuando o desenvolvimento, temos:
2x² - 9x + 10 = 0 ----- note: se você aplicar Bháskara vai encontrar que as duas raízes reais da equação acima são exatamente estas:

x' = 5/2; e x'' = 2 <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como se "m" for igual a "1" uma das raízes é, realmente, igual a 2.

É isso aí. 
Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.