Question

Determine k para que a distância entre o plano π : kx+ y+z−2=0 e a origem seja 2/√6.

Answer 1

O valor de k pode ser -2 ou 2.

A equação cartesiana de um plano é definida por ax + by + cz + d = 0, sendo (a,b,c) o vetor normal.

Suponha que temos um ponto (x₀,y₀,z₀). A distância entre o plano e o ponto é definida pela fórmula:

• $d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Queremos que a distância entre o plano kx + y + z - 2 = 0 e a origem, ponto (0,0,0), seja igual a 2/√6. Sendo assim, utilizando a fórmula descrita acima, temos que:

$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{|k.0+1.0+1.0-2|}{\sqrt{k^2+1^2+1^2}}$

$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{|-2|}{\sqrt{k^2+2}}$

$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+2}}$

√(k² + 2) = √6.

Elevando ambos os lados ao quadrado:

k² + 2 = 6

k² = 4

k = ±2.

Portanto, o valor de k pode ser -2 ou 2. Assim, teremos os planos 2x + y + z - 2 = 0 e -2x + y + z - 2 = 0.