Question

Determine k para que A (1, -3) seja interno a circunferência x^2 + y^2 - 2x + 4y + k = 0

Answer 1

Resposta:

-k>-4 ou

k>4

Explicação passo-a-passo:

Vamos arrumar a função da circunferência:

$x^2+y^2-2x+4y+k=0$

Separando o x de y:

$(x^2-2x)+(y^2+4y)+k=0$

Comparando o primeiro termo com $(x-1)^2=x^2-2x+1$ e $(y+2)^2=y^2+4y+4$ e Somando a função aqueles termos que falta (o 1 e o 4) nos dois lados da função:

$(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)+k=0+1+4$

Separando por partes iguais:

$[(x^2-x)+(-x+1)]+[(y^2+2y)+(2y+4)]+k=5$

Fatorando:

$[x(x-1)-1(x-1)]+[y(y+2)+2(y+2)]+k=5$

Fatorando os termos iguais:

$[(x-1)(x-1)]+[(y+2)(y+2)]+k=5$

Fazendo $(x-1)(x-1)=(x-1)^2$ e $(x+2)(x+2)=(x+2)^2$:

$(x-1)^2+(y+2)^2+k=5$

Passando o k diminuindo:

$(x-1)^2+(y+2)^2=5-k$

Achando a coordenada do centro:

-(-1, 2) = (1, -2)

O raio será

$R^2=5-k$

$R=\sqrt{5-k}$

Percebe-se que no gráfico a coordenada do centro do círculo está a 1 unidades de comprimento a do ponto desejado a estar dentro do círculo. Para que o ponto (1, -3) esteja dentro do círculo, o raio dele deve ser maior que 1, pois sendo igual a 1, o círculo vai tanger o ponto, ou seja:

$R>5$

Substituindo R por √5-k

$\sqrt{5-k}>1$

Passando a raiz:

$5-k>1$

Passando o 5 diminuindo:

$(-k)>-4$

então o k deve ser maior que 4 para que a coordenada desejada esteja interna ao círculo.