Question

Determine k na equação x² + 8x + k = 0, de modo que uma raiz seja triplo da outra.

Answer 1

x² + 8x + k = 0

Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = 8² - 4.1.k
Δ = 64 - 4k

x = -b +/- √Δ/2a
x = -(8) +/- √(64 - 4k) /2.1
x = -8 +/- √(64 - 4k)/2

x' = -8+√(64 - 4k)/2
x'' = -8-√(64 - 4k)/2


Sabemos que x' é 3 vezes maior que x'' , logo:

-8+√(64 - 4k)/2 = 3.(-8-√(64-4k)/2  

Agr basta resolver essa equação:

-8+√(64 - 4k)/2 = 3.(-8-√(64 - 4k)/2       Passe o 2 para o outro lado:
-8+√(64 - 4k) = 2.3.(-8-√(64 - 4k)/2       simplifique o 2 pelo 2:
-8+√(64 - 4k) = 3 . (-8-√(64 - 4k)        Agr faça a distributiva:
-8+√(64 - 4k) = - 24 - 3√(64 - 4k)       
√(64 - 4k) + 3√(64 - 4k) = - 24 + 8
4√(64 - 4k) = - 16
√(64 - 4k) = -16/4
√(64 - 4k) = - 4            raiz passa pro outro lado como potencia:
64 - 4k = -4²  
64 - 4k = 16
- 4k = 16 - 64
- 4k = - 48
k = -48/-4
k = 12 <<< valor de k.
_________________________________________________________
__________________________________________________________
Prova real:

x² + 8x + 12 = 0

Bhaskara:
b² - 4ac
8² - 4.1.12
64 - 48 
16 = delta

x = -b +/- √Δ /2a
x = -8 +/- √16 / 2.1
x = -8 +/- 4 / 2
x = -4 +/- 2

x' = -4 + 2 = -2
x'' = -4 - 2 = -8

Como -8 é o triplo de -2 , k vale 12.

Bons estudos

Answer 2

Seja "x" a menor raiz
Sabendo qua a soma das raízes é -b/a
então
x + 3x = -8/1
4x = -8
x = -2 (menor raiz)
maior raiz ⇒ 3x = 3(-2) = -6
como o produto das raízes é c/a ou k/1 ⇒ k/1 = (-2)(-6) ⇒ k = 12