determine k na equação x²+10x+k de modo que uma seja do quádruplo da outra
Soluções para a tarefa
Olá!
Considere "x1" e "x2" as raízes em questão, onde \mathbf{x_1 = 4x_2}x
1
=4x
2
. Ora, o conjunto solução da equação \mathbf{x^2 + 10x + k = 0}x
2
+10x+k=0 é dado por:
S = {x1, x2}
Ou seja, S = {4x_2, x_2}
Portanto, a soma das raízes será \mathbf{5x_2}5x
2
.
Ademais, sabemos que a soma das raízes de uma equação do segundo grau - \mathbf{x^2 + bx + c = 0}x
2
+bx+c=0 é dada por \mathbf{\frac{- b}{a}}
a
−b
. Daí,
$$\begin{lgathered}\\ \displaystyle \mathsf{x_1 + x_2 = \frac{- b}{a}} \\\\\\ \mathsf{5x_2 = \frac{- 10}{1}} \\\\ \mathsf{5x_2 = - 10} \\\\ \mathsf{x_2 = - 2}\end{lgathered}$$
Com efeito, já que (- 2) é uma raiz, ao substituí-lo na equação...
$$\begin{lgathered}\\ \mathsf{x^2 + 10x + k = 0} \\\\ \mathsf{(- 2)^2 + 10 \cdot (- 2) + k = 0} \\\\ \mathsf{4 - 20 + k = 0} \\\\ \mathsf{k - 16 = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{k = 16}}\end{lgathered}$$
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que a referida equação do segundo grau - equação quadrática - tenha uma raiz que é o quádruplo da outra é:
Seja a equação polinomial do segundo grau:
Cujos coeficientes são:
Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos a partir do enunciado que uma das raízes é o quádruplo da outra. Então temos:
Sabendo que - pela relação de Girard com respeito à soma das raízes - que a soma das raízes da equação do segundo grau pode ser representada por:
Substituindo "II" em "III", temos:
Substituindo os coeficientes na equação "IV" e resolvendo-a, temos:
Portanto, as raízes são:
Portanto, o conjunto solução da referida equação é:
Substituindo um dos valores das raízes na equação "I", poderemos obter o valor do parâmetro "k". Então, substituindo o valor de x'', temos:
✅ Portanto, o valor de "k" é:
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