Question

determine k na equação x²+10x+k de modo que uma seja do quádruplo da outra

a)16
b)36
c)64
d)8
e)6

Answer 1

Olá!

Considere "x1" e "x2" as raízes em questão, onde $\mathbf{x_1 = 4x_2}$. Ora, o conjunto solução da equação $\mathbf{x^2 + 10x + k = 0}$ é dado por:

S = {x1, x2}

Ou seja, S = {4x_2, x_2}

 Portanto, a soma das raízes será $\mathbf{5x_2}$.

 Ademais, sabemos que a soma das raízes de uma equação do segundo grau - $\mathbf{x^2 + bx + c = 0}$ é dada por $\mathbf{\frac{- b}{a}}$. Daí,

 $\\ \displaystyle \mathsf{x_1 + x_2 = \frac{- b}{a}} \\\\\\ \mathsf{5x_2 = \frac{- 10}{1}} \\\\ \mathsf{5x_2 = - 10} \\\\ \mathsf{x_2 = - 2}$


 Com efeito, já que (- 2) é uma raiz, ao substituí-lo na equação...

 $\\ \mathsf{x^2 + 10x + k = 0} \\\\ \mathsf{(- 2)^2 + 10 \cdot (- 2) + k = 0} \\\\ \mathsf{4 - 20 + k = 0} \\\\ \mathsf{k - 16 = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{k = 16}}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que a referida equação do segundo grau - equação quadrática - tenha uma raiz que é o quádruplo da outra é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = 16\:\:\:}}\end{gathered} }$      

Portanto, a opção correta é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:A\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação polinomial do segundo grau:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 10x + k = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                        $\Large\begin{cases} a = 1\\b = 10\\c = k\end{cases}$

Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos a partir do enunciado que uma das raízes é o quádruplo da outra. Então temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 4x''\end{gathered}$

Sabendo que - pela relação de Girard com respeito à soma das raízes - que a soma das raízes da equação do segundo grau pode ser representada por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' + x'' = -\frac{b}{a}\end{gathered}$

Substituindo "II" em "III", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' + 4x' = -\frac{b}{a}\end{gathered}$

Substituindo os coeficientes na equação "IV" e resolvendo-a, temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4x'' + x'' = -\frac{10}{1}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 5x'' = -10\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = -\frac{10}{5}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = -2\end{gathered}$

Portanto, as raízes são:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = -2\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 4x'' = 4\cdot(-2) = -8\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-8,\,-2\}\end{gathered}$

Substituindo um dos valores das raízes na equação "I", poderemos obter o valor do parâmetro "k". Então, substituindo o valor de x'', temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-2)^{2} + 10\cdot(-2) + k = 0\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 - 20 + k = 0\end{gathered}$

                                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 20 - 4\end{gathered}$

                                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 16\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor de "k" é:

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 16\end{gathered}$

       

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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