Question

determine inteiros x e y tais que:1000x +(-761)y=7

Answer 1

Essa é uma daquelas questões chamadas "toró de miolo". Vai ser preciso fazer várias substituições e desfazê-las, mas pra isso precisa ter uma base de teoria dos números (muito pequena, por sinal).
Essa questão num tem muito que se explicar, vou apenas manipulando os números e variáveis, $x$ e $y$, até encontrar algo relevante. O procedimento será o mesmo em todos os passos. As substituições estarão entre parênteses.

$i) \ 1000x+(-761)y=7\Rightarrow 1000x-761y=7\\ 761x-761y+239x=7\\ 761(x-y)+239x=7 \ (\Rightarrow x_1=x-y) \\ \boxed{761x_1+239x=7}$

$ii) \ 761x_1+239x=7\\ 717x_1+44x_1+239x=7\\ 239*3x_1+239x+44x_1=7\\ 239(3x_1+x)+44x_1=7 \ (\Rightarrow 3x_1+x=x_2)\\ \boxed{239x_2+44x_1=7}$

$iii) \ 239x_2+44x_1=7\\ 220x_2+19x_2+44x_1=7\\ 44*5x_2+44x_1+19x_2=7\\ 44(5x_2+x_1)+19x_2=7 \ (\Rightarrow 5x_2+x_1=x_3)\\ \boxed{44x_3+19x_2=7}$

$iv) \ 44x_3+19x_2=7\\ 38x_3+6x_3+19x_2=7\\ 19*2x_3+19x_2+6x_3=7\\ 19(2x_3+x_2)+6x_3=7 \ (\Rightarrow 2x_3+x_2=x_4)\\ \boxed{19x_4+6x_3=7}$

$v) \ 19x_4+6x_3=7\\ 18x_4+x_4+6x_3=7\\ 6*3x_4+6x_3+x_4=7\\ 6(3x_4+x_3)+x_4=7 \ (\Rightarrow 3x_4+x_3=x_5)\\ x_4+6x_5=7\\ \boxed{x_4=7-6x_5}$

O que foi feito nos cinco passos acima? Bem, como $x$ e $y$ são inteiros temos que $x_1$ também será inteiro. Usando o mesmo argumento mais quatro vezes temos que $x_5$ será inteiro. Daí podemos escolher um valor inteiro qualquer para $x_5$ que encontraremos valores inteiros para $x_4,\ x_3,\ x_2,\ x_1, x$ e $y$

vi) Agora que temos $x_4$ em função de uma constante inteira qualquer, a saber, $x_5$, podemos encontrar $x$ e $y$ em função dessa mesma constante. Para economizar espaço vou apenas colocar aqui o resultado final, mas é bom que desenvolva na sua resolução:

$\begin{cases}\boxed{x=847-761x_5}\\ \\ \boxed{y=1113-1000x_5}\end{cases}$

Como pede dois inteiros $x$ e $y$ podemos fazer $x_5=1$, donde encontramos que:

$\begin{cases}\boxed{\boxed{x=86}}\\ \\ \boxed{\boxed{y=113}}\end{cases}$