Question

Determine i² + j², sabendo que são raízes da equação x²+ax+b=0 em que a e b são coeficientes reais:

Escolha uma:

a) a²-2b

b) a²-b

c) a²+2b

d) a²-2b²

e) a²+2b²

Answer 1

Olá. Desculpe a demora.

x² + ax + b = 0

Essa equação está em uma estrutura não padrão, o padrão é esse:
ax² + bx + c = 0

Então, no caso exposto, o que acompanha x² é a, a é = b e b é = c (na fórmula)

Por Bhaskara:
-b ± √b² - 4×a×c /2×a

-a ± √a² - 4×1×b /2×1
-a ± √a² -4b/2
-a ± (a -2√b) /2
-a/2 ± (a - √b)

Raízes:
-a/2 + (a - √b) = -a/2 + a - √b = i
-a/2 - (a - √b) = -a/2 -a + √b = j

i² + j² = (-a/2 + a - √b)² + (-a/2 -a + √b)²

i² + j² = (-0,5a + a - √b)² + (-0,5a + a + √b)²

i² + j² = (a/2 - √b)² + (a/2 + √b)²

i² + j² = [a²/4 + 2 × (a/2) × (- √b) + b] + [a²/4 + 2 × (a/2) × (√b) + b]

i² + j² = a²/2 - a√b + a√b + b

i² + j² = a²/2 + b (×2)

i² + j² = a² + 2b

Resposta: a² + 2b

Perdão pela demora e pela desorganização, coloque em um papel para melhor compreensão.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Simonecig, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Tem-se:sabendo-se que "i" e "j" são raízes da equação abaixo, então determine o valor de "i² + j²". A equação dada foi esta:

x² + ax + b = 0

ii) Antes de iniciar veja que a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau, da forma: ax² + bx + c = 0, com raízes iguais a x' e a x'',  são dados da seguinte forma:

ii.1) SOMA:

x' + x'' = -b/a

No caso da sua questão [x² + ax + b = 0], temos que "a" = 1 (é o coeficiente de x²);  "b" = a (é o coeficiente de x) e "c" = b (é o coeficiente do termo independente). Assim, a soma das raízes será, considerando que as raízes já foram dadas e que são "i" e "j":

i + j = -a/1 ---- ou apenas:
i + j = - a       . (I)

ii.2)

PRODUTO:

x'*x'' = c/a ---- no caso da sua questão [x² + ax + b = 0], veja que o termo "c" é igual a "b" (que é o coeficiente do termo independente) e o termo "a" é igual a "1" (que é o coeficiente de x²). Assim, teremos para o produto, considerando que as raízes são "i" e "j":

i*j = b/1 --- ou apenas:
i*j = b        . (II)

iii) Agora vamos fazer o seguinte: tomaremos a expressão (I) e vamos elevar ambos os membros ao quadrado. A expressão (I) é esta:

i + j = - a ---- elevando-se ambos os membros ao quadrado, teremos:
(i+j)² = (-a)² ---- desenvolvendo, teremos:
i²+2ij+j² = a² ---- vamos passar "2ij" para o 2º membro, ficando:

i² + j² = a² - 2ij      . (III)

iv) Mas note que, conforme a expressão (II), temos que "ij" = b. Então vamos na expressão (III) acima e vamos substituir "ij" por "b". Vamos apenas repetir a expressão (III), que é esta:

i² + j² = a² - 2ij ---- substituindo-se "ij" por "b", teremos:

i² + j² = a² - 2b <---- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, este é o valor pedido da soma "i² + j²"

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.