Question

Determine F para o triângulo ABC seja retângulo no ponto C.
Dados: A(1,4),B(9,1) e C (F,3)

Answer 1

Para que ABC seja retângulo em C, AC^2 + BC^2 = AB^2
AB = Raiz (8^2 + 3^2) = Raiz (73)
AC = Raiz ((F-1)^2 +1^2) = Raiz (F^2 -2F+2)
BC = Raiz ((9-F)^2 + (3-1)^2) = Raiz (F^2 -18F+85)

AC^2 + BC^2 = AB^2
73 = F^2 -2F+2 + F^2 -18F+85
2F^2 -20F+14=0
F^2 -10F+7=0
Resolvendo achamos F=5+-3raiz(2)

Para que ABC seja retângulo em C, AC^2 + BC^2 = AB^2
AB = Raiz (8^2 + 3^2) = Raiz (73)
AC = Raiz ((F-1)^2 +1^2) = Raiz (F^2 -2F+2)
BC = Raiz ((9-F)^2 + (3-1)^2) = Raiz (F^2 -18F+85)

AC^2 + BC^2 = AB^2
73 = F^2 -2F+2 + F^2 -18F+85
2F^2 -20F+14=0
F^2 -10F+7=0
Resolvendo achamos F=5+-3raiz(2)

Perceba que temos 2 valores para F, e é fácil intuir geometricamente que de fato existirão 2 C possíveis que fazem ABC retângulo em C. Algebricamente isso se explica pois para uma reta qualquer, existem 2 triângulos retângulos que podemos desenhar com esta reta como hipotenusa, que juntos formam o retângulo que estes triângulos retângulos são metade, mas pouparei-me da demonstração :)