Question

Determine esse limite da integral imprópria usando a regra L'hospital.

Answer 1

Olá, siga a explicação:

Resolvendo ambos os lados da equação, considerando os limites:

Numerador:

$\boxed {\displaystyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle \int\limits^x_0 e^{x^{2}} dx} \Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{\pi } }{2} erfi \: (x) \\ \\ \\ = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \left ( \dfrac{\sqrt{\pi } }{2} erfi \: (x) \right ) ^2 \right ) \\ \\\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \left ( \dfrac{\sqrt{\pi } }{2} erfi \: (x) \right ) ^2 \right ) = \boxed {\infty}$

Denominador:

$\boxed {\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int\limits^x_0 e^{2x} dx} \Longleftrightarrow \displaystyle \int\limits^x_0 e^{2x} dx = \dfrac{1}{2} (e^{2x} -1) \\ \\ \\ = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \dfrac{1}{2} (e^{2x}-1) \right ) = \boxed {\infty}$

Logo admitindo seus princípios:

$\dfrac{\infty}{\infty} \:\: ou \: \: \dfrac{0}{0} \Longrightarrow \boxed {\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }$

Contemos de TFC (Teorema do Cálculo Fundamental):

$\displaystyle \int\limits^x_0 e^{x^{2}} dx \Longrightarrow e^{x^{2}}$

$\displaystyle \int\limits^x_0 e^{2x} dx \Longrightarrow e^{2x}$

Ambas não variam, pois o integrando é a própria variável x.

Adotando as propriedades das potências, temos:

$\boxed {e^{x^{2}- 2x} }$

• Att. MatiasHP