Question

Determine equações paramétricas da reta r que passa pelos centros dos círculos:

C1: x2 + y2 + (4)x + (-4)y = -7 e

C2: x2 + y2 + (-4)x + (4)y = -7

Answer 1

Resposta:

A equação da reta que passa pelos centros dos círculos C1 e C2 é x+y=0.

Explicação passo a passo:

Vamos completar o produto notável nas equações de C1 e C2 somando e subtraindo o número 4 aos termos envolvendo x e y:

x^2 + 4*x + y^2 -4*y = -7

x^2 + 4*x + 4 - 4 + y^2 - 4*y + 4 - 4 = -7

(x+2)^2 +(y-2)^2 - 8 = -7

(x+2)^2 +(y-2)^2 = -7 + 8 = 1

O centro do círculo C1 fica então em (-2,2)

x^2 - 4*x + y^2 + 4*y = -7

x^2 - 4*x + 4 - 4 + y^2 + 4*y + 4 - 4 = -7

(x-2)^2 + (y+2)^2 - 8 = -7

(x-2)^2 + (y+2)^2 = -7 + 8 = 1

O centro do círculo C2 fica então em (2,-2)

A equação geral da reta é:

a*x + b*y = c

Substituindo os valores de (x,y) do centro dos dois círculos:

a*-2 + b*2 = c   (i)

a*2 + b*-2 = c   (ii)

Somando as duas equações:

2*c = 0  

=> c = 0

Substituindo c=0 em (i):

-2*a + 2 * b = 0

=> 2*a = 2* b

=> a = b

Portanto a equação da reta fica:

a*x + a*y = 0

=> x + y = 0, se a ≠ 0