Question

Determine, em IR, o conjunto solução da equação (equação está na foto).

Answer 1

$\displaystyle (\text x + \frac{1}{\text x})^2-2.(\text x+\frac{1}{\text x}) = \frac{5}{4}$

Fazendo uma mudança de variável :

$\displaystyle (\text x+\frac{1}{\text x}) = \text y$

Então temos :

$\displaystyle \text y^2-2\text y = \frac{5}{4}$

$\displaystyle \text y^2-2\text y +1= \frac{5}{4}+1$

$\displaystyle (\text y-1)^2 = \frac{9}{4}$

$\displaystyle \text y-1 = \pm \frac{3}{2}$

$\displaystyle \text y = 1 + \frac{3}{2} \to \boxed{\text y = \frac{5}{2}}$

$\displaystyle \text y = 1 - \frac{3}{2} \to \boxed{\text y = \frac{-1}{2}}$

Desfazendo a troca de variável :

1º $\displaystyle (\text x +\frac{1}{\text x})=\frac{5}{2}$

multiplicando os dois lados por 2x :

$2.\text x^2 + 2 = 5\text x$

$2\text x^2 -5\text x + 2 = 0$

$\displaystyle \text x = \frac{-(-5) \pm\sqrt{(-5)^2-4.2.2}}{2.2}$

$\displaystyle \text x = \frac{5 \pm\sqrt{25-16}}{4}$

$\displaystyle \text x = \frac{5 \pm\sqrt{9}}{4}\to \text x = \frac{5 \pm 3}{4}$

$\displaystyle \text x = \frac{5 +3}{4} \to \text x = \frac{8}{4}$

$\boxed{\displaystyle \text x = 2}$

$\displaystyle \text x = \frac{5 -3}{4} \to \text x = \frac{2}{4}$

$\boxed{\displaystyle \text x = \frac{1}{2}}$

2º $\displaystyle (\text x + \frac{1}{\text x }) = \frac{-1}{2}$

multiplicando os dois lados por 2x :

$2\text x^2+2 = -\text x$

$2\text x^2+\text x +2 = 0$

$\displaystyle \text x =\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4.2.2 }}{2.2}\to \text x = \frac{1\pm\sqrt{-15}}{4}$

Deu raiz negativa, logo não pertence aos reais. Então não convém.

Portanto :

$\huge\boxed{\ \text S : \text{ x = 2} \ \ ; \ \ \text x = \frac{1}{2}\ }\ }\checkmark$