Question

Determine em IR a solução da equação: |2 x x|
|-1 -2 -1|
|3 1 2| = 8 - log⁸4​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\left\{x\in\mathbb{R}~|~x=\dfrac{10}{3}\right\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Queremos encontrar a solução real da equação:

$\begin{vmatrix}2&x&x\\-1&-2&-1\\3&1&2\\\end{vmatrix}=8-\log_84$

Do lado esquerdo, temos um determinante de ordem 3.

Para resolvê-lo, utilizaremos a Regra de Sarrus.

Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, teremos:

$\left|\begin{matrix}2&x&x\\-1&-2&-1\\3&1&2\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}2&x\\-1&-2\\3&1\end{matrix}\right.=8-\log_84$

Aplique a regra

$2\cdot(-2)\cdot2+x\cdot (-1)\cdot 3+x\cdot(-1)\cdot1-(x\cdot(-1)\cdot2+2\cdot(-1)\cdot1+x\cdot(-2)\cdot3)=8-\log_84$

Multiplique e some os valores

$-8-3x-x-(-2x-2-6x)=8-\log_84\\\\\\\ -8-4x-(-8x-2)=8-\log_84\\\\\\\ -8-4x+8x+2=8-\log_84\\\\\\ 4x-6=8-\log_84$

Para resolvemos o lado esquerdo, lembre-se das propriedades de logaritmo:

$\log_{b^n}a^m=\dfrac{m}{n}\cdot\log_ba$ e $log_aa=1$

Logo, sabendo que $4=2^2$ e $8=2^3$, temos que

$4x-6=8-\log_{2^3}{2^2}\\\\\\ 4x-6=8-\dfrac{2}{3}\cdot \log_22\\\\\\ 4x-6=8-\dfrac{2}{3}$

Some 6 em ambos os lados da equação

$4x=14-\dfrac{2}{3}$

Some as frações

$4x=\dfrac{42-2}{3}\\\\\\ 4x=\dfrac{40}{3}$

Divida ambos os lados da equação por 4

$x=\dfrac{10}{3}$

O conjunto solução desta equação é:

$S=\left\{x\in\mathbb{R}~|~x=\dfrac{10}{3}\right\}$