Question

Determine, em graus, o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio, nos seguintes casos:
a) 2h 15 min
b) 9h 10 min
c) 1h 30 min
d) 3h 15 min

Answer 1

Vamos partir das 12:00, onde os ponteiros das horas e dos minutos estão alinhados. Seja $\theta_{1}$ o ângulo percorrido pelo ponteiro dos minutos em $t$ minutos após 12:00 e $\theta_{2}$ o ângulo percorrido pelo ponteiro das horas $t$ minutos após a hora inicial 12:00.

O ponteiro dos minutos percorre um ângulo de 360 graus a cada 60 minutos. Assim, podemos escrever

$\theta_{1}=\frac{360\textrm{ graus}}{60 \textrm{ min}}t\Rightarrow\theta_{1}=6t\textrm{ (graus)}$

O ponteiro das horas percorre um ângulo de 360 graus a cada 12 horas, ou seja, a cada $12\times 60=720$ minutos. Assim, podemos escrever

$\theta_{2}=\frac{360\textrm{ graus}}{720\textrm{ min}}t\Rightarrow \theta_{2}=\frac{1}{2}t\textrm{ (graus)}$

O ângulo entre os dois ponteiros pode ser calculado fazendo a diferença entre os ângulos percorridos pelos ponteiros dos minutos e pelos ponteiros das horas. Assim

$\theta_{1}-\theta_{2}=6t-\frac{1}{2}t \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\left ( 6-\frac{1}{2} \right )t \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\left ( \frac{12-1}{2} \right )t \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\frac{11}{2}t$

Caso essa diferença seja maior que 360 graus, subtraímos múltiplos de 360 graus até obtermos um ângulo menor que uma volta completa.

a) $t=2\textrm{h }15\textrm{min}=2\times 60+15\textrm{ min}=120+15\textrm{ min}\Rightarrow t=135\textrm{ min} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\frac{11}{2}\times 135 \\ \theta_{1}-\theta_{2}=742,5\textrm{ graus} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=2\times 360 + 22,5\textrm{ graus}$

Logo, às 2h 15min, o ângulo é de 22,5º ou 22º 30'.

b) $t=9\textrm{h }10\textrm{min}=9\times 60+10\textrm{ min}=540+10\textrm{ min}\Rightarrow t=550\textrm{ min} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\frac{11}{2}\times 550 \\ \theta_{1}-\theta_{2}=3025\textrm{ graus} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=8\times 360 + 145\textrm{ graus}$

Logo, às 9h 10min, o ângulo é de 145º.

c) $t=1\textrm{h }30\textrm{min}=1\times 60+30\textrm{ min}=60+30\textrm{ min}\Rightarrow t=90\textrm{ min} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\frac{11}{2}\times 90 \\ \theta_{1}-\theta_{2}=495\textrm{ graus} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=1\times 360 + 135\textrm{ graus}$

Logo, à 1h 30min, o ângulo é de 135º.

d) $t=3\textrm{h }15\textrm{min}=3\times 60+15\textrm{ min}=180+15\textrm{ min}\Rightarrow t=195\textrm{ min} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=\frac{11}{2}\times 195 \\ \theta_{1}-\theta_{2}=1072,5\textrm{ graus} \\ \theta_{1}-\theta_{2}=3\times 360 -7,5\textrm{ graus}$

Logo, às 3h 15min, o ângulo é de 7,5º ou 7º 30'.