Question

Determine, em cm, a menor distância entre uma circunferência e um ponto sabendo que a reta que sai desse ponto e é tangente à circunferência mede 6 cm, e que o raio da circunferência mede 4 cm

Answer 1

Dado que a reta que sai do ponto P é tangente à circunferência, ela também será perpendicular ao segmento que sai do centro da circunferência, C, e vai até o ponto em que a reta tangencia a circunferência, B. Sendo assim é possível formar um triângulo retângulo CBP, observe a figura em anexo.

A hipotenusa, neste caso é (4 + x) cm, porque temos 4 cm de raio, do centro C até a circunferência e x é o valor que queremos descobrir.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

$(4+x)^2 = 4^2 + 6^2$

$x^2 + 8 \cdot x + 16 = 16 + 36$

$x^2 + 8 \cdot x - 36 = 0$

Agora. Podemos utilizar a equação de Bhaskara para encontrar as raízes do polinômio de 2° grau:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

No nosso caso, a = 1, b = 8 e c = -36. Substituindo:

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64+ 144}}{2}$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{208}}{2}$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 13}}{2}$

$x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{13}}{2}$

$x = \dfrac{-8 \pm 4 \cdot \sqrt{13}}{2}$

$x = -4 \pm 2 \cdot \sqrt{13}$

Só nos interessa a raiz positiva, então:

$\boxed{x = -4 + 2 \cdot \sqrt{13} \approx 3,211\text{ cm}}$