Question

Determine, em cada caso, o valor da constante K e as raízes da função dada por f(x)= -3x² - (k+1) x -1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bernardo, como você já informou quais são esses "em cada caso", então vamos dar a nossa resposta.
Tem-se: Determine, em cada caso, o valor da constante "k" e as raízes da função dada por f(x)= -3x² - (k+1)x -1

a) Para que as raízes da função acima sejam opostas entre si.
Veja: quando dois números são opostos eles têm o mesmo valor absoluto, mas com sinais diferentes. Por exemplo: o oposto de "2" é "-2"; o oposto de "3" é "-3" e assim sucessivamente.
Então vamos chamar essas duas raízes opostas da seguinte forma: a primeira raiz chamaremos de "r" e a segunda raiz de "-r".
Agora veja isto e não esqueça mais: uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e a x'', a sua soma será dada por:

x' + x'' = -b/a     . (I). 

a.i) Assim, tendo a expressão (I) acima como parâmetro, então a equação da sua questão [f(x) = -3x² - (k+1)x - 1, terá a soma de suas duas raízes opostas dada da seguinte forma:

- r + r = -[-(k+1)]/-3 --- como "-r+r = 0", teremos:
0 = -[-(k+1)]/-3 ---- retirando-se os colchetes, iremos ficar apenas com:
0 = (k+1)/-3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
-3*0 = k+1
0 = k+1 ---- vamos apenas inverter, ficando:
k + 1 = 0
k = - 1 <--- Esta é a resposta quanto ao valor de "k" para a questão do item "a". Ou seja, este deverá ser o valor de "k" para que as duas raízes sejam opostas entre si. E se você substituir o "k" por "-1" na expressão original, vai encontrar raízes complexas (e não raízes reais). Veja: vamos substituir "k" por "-1" na expressão original, que é esta:

f(x) = - 3x² - (k+1)x - 1 ------ substituindo-se "k" por "-1", teremos:
f(x) = - 3x² - (-1+1)x - 1
f(x) = - 3x² - (0)x - 1 --- ou apenas:
f(x) = - 3x² - 1 ---- agora, para encontrar as raízes, vamos igualar f(x) a zero, ficando:

- 3x² - 1 = 0
- 3x²  = 1 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
3x² = - 1
x² = -1/3 ---- isolando "x", teremos:
x =  ± √(-1/3) ----- note que √(-1/3) = √(1/3)*√(-1). Assim, teremos:
x =  ± √(1/3)*√(-1) --- note que, nos complexos, √(-1) = i. Assim, teremos:
x =  ± √(1/3)*i --- ou, o que é a mesma coisa:
x =  ± i√(1/3) ----- daqui você já conclui que:

x' = -i√(1/3)
x'' = i√(1/3)

Pronto, as raízes complexas são as que encontramos aí em cima. E note que uma é oposta à outra, como a questão está pedindo.

E note: quando as raízes são opostas a sua soma é zero. E a soma é exatamente igual a zero. Veja: -i√(1/3) + i√(1/3) = 0 <--- Olha aí como é verdade.

b) Para que a soma das raízes da função dada [f(x) = -3x² - (k+1)x - 1] seja igual a 8.
Veja: já vimos que é que se encontra a soma das raízes, que é utilizando a fórmula:

x' + x'' = -b/a ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
x' + x'' = -[-(k+1)]/-3 ----- como queremos que a soma seja igual a "8", então vamos substituir x'+x'' por "8", ficando:

8 = -[-(k+1)]/-3 --- multiplicando-se em cruz, teremos;
-3*8 = -[-(k+1)]
- 24 = -[-(k+1)] --- retirando-se os colchetes, ficaremos com:
- 24 = k+1 --- passando-se "1" para o 1º membro, teremos:
-24 - 1 = k
- 25 = k --- ou, invertendo-se:
k = - 25 <---- Esta é a resposta quanto ao valor de "k" para a questão do item "b". Ou seja, este deverá ser o valor de "k" para que a soma das duas raízes seja igual a 8. E agora vamos substituir o "k" por "-25" na expressão original para encontrar quais são as raízes. A equação original é esta:

f(x) = - 3x² - (k+1)x - 1 ---- substituindo-se "k" por "-25", teremos:
f(x) = - 3x² - (-25+1)x - 1
f(x) = - 3x² - (-24)x - 1 ----- retirando-se os parênteses, temos:
f(x) = - 3x² + 24x - 1 ------- agora vamos encontras as raízes, e, para isso, vamos igualar f(x) a zero. Assim:

0 = - 3x² + 24x - 1 -- ou, o que é a mesma coisa:
- 3x² + 24x - 1 = 0 ---- Para facilitar a operacionalização, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

3x² - 24x + 1 = 0 ----- Vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac .  Assim, substituindo-se, temos:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- fazendo as devidas substituições pelos devidos coeficientes da função dada [f(x) = 3x² + 24x + 1], teremos:

x =[-(-24 ± √(-24)² - 4*(3)*(1)]/2*(3)
x = [24 ± √(576 - 12)]/6
x = [24  ± √(564)]/6 ---- note que 564 = 2² * 141. Assim, ficaremos:
x = [24 ± √(2²*141)]/6 --- note que o "2" que está ao quadrado sairá de dentro da raiz quadrada, ficando assim:

x = [24 ± 2√(141)]/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

x = [12 ± √(141)]/3 ---- daqui você já conclui que:

x' = [12 - √(141)]/3
e
x'' = [12 + √(141)]/3

Pronto, as raízes da questão do item "b" são as que demos aí em cima.

Note, a propósito, que a soma das raízes dará igual a "8". Veja:

[12 - √(141)]/3 + [12 + √(141)]/3 ---- colocando-se tudo com o mesmo denominador, teremos:

[12 - √(141) + 12 + √(141)]/3 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
[ 12 + 12]/3 = 24/3 = 8 <--- Olha aí como é verdade que se a sua questão estiver escrita como você colocou, a soma das raízes é "8" e são as que demos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.