Question

Determine em cada caso a posição relativa entre as circunferências: (2 pontos) a) x2 + y2 = 16 e x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 b) x2 + y2 = 18 e x2 + y2 + 20x – 10y + 124 = 0

Answer 1

a) Tangentes externas:

Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

$D_{c_1,c_2} = R + r$

b) Tangentes internas:

Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.

$D_{c_1,c_2} < R - r$

c) Circunferências secantes:

Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

$R - r < D_{c_1,c_2} < R + r$

d) Circunferências internas:

Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

$0 \leq D_{c_1,c_2} < R - r$

e) Circunferências concêntricas.

Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.

$D_{c_1,c_2} = 0$

Item a):

Para resolver esse item, vamos fazer algumas comparações e análises.

Primeira equação:

Primeiro vamos comparar a primeira equação, note que ela está em seu formato reduzido, ou seja, para realizar a comparação usaremos a equação reduzida em sua forma padrão.:

$\sf {(x - a)}^{2} + (y - b) {}^{2} = r {}^{2}$

Comparando:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} = 16$

Observe que não temos os termos "a", ou seja, "a" é igual a "0".

•Abscissa (a):

$\sf a = 0$

Também não temos o termo "b", ou seja, "b" é igual a "0".

• Ordenada (b):

$\sf b = 0$

• Raio (r):

$\sf r {}^{2} = 16 \\ \sf r = \sqrt{16} \\ \sf r = 4$

• Organizando os dados:

$\begin{cases} \sf C_1 (0,0) \\ \sf r = 4 \end{cases}$

Segunda equação:

Para resolver a segunda equação , vamos compará-la com a equação geral padrão, dada por:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0\\ \sf{onde:}\\ \sf{k = a^{2} + b^{2} - r^{2}}$

•Comparando:

$\sf x {}^{2} + {y}^{2} + 6x - 4y + 4 = 0$

• Abscissa (a):

$\sf 6x = - 2ax \\ \sf a = \frac{6x}{ - 2x} \\ \sf a = - 3$

• Ordenada (b):

$\sf - 4y = - 2by \\ \sf b = \frac{ - 4y}{ - 2y} \\ \sf b = 2$

• Raio (r):

$\sf k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 4 = ( - 3) {}^{2} + (2) {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 4 = 9 + 4 - r {}^{2} \\ \sf4 = 13 - r {}^{2} \\ \sf4 - 13 = - r {}^{2} \\ \sf - 9 = - r {}^{2} .( - 1) \\ \sf r {}^{2} = 9 \\ \sf r = \sqrt{9} \\ \sf r = 3$

• Organizando os dados:

$\begin{cases} \sf C_2 ( - 3,2) \\ \sf r = 3\end{cases}$

• Distância entre os centros:

$\begin{cases} \sf C_1 (0,0)\\ </p><p> \sf C_2 ( - 3,2)\end{cases} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 0 \: \: \: \: y_1 = 0 \\ \sf</p><p>x_2 = - 3 \: \: \: \sf y_2 = 2 \end{cases}$

$\sf D = \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} } \\ \sf D = \sqrt{ (- 3 - 0) {}^{2} + (2 - 0) {}^{2} } \\ \sf D = \sqrt{( - 3) {}^{2} +( 2) {}^{2} } \\ \sf D = \sqrt{9 + 4} \\ \sf D = \sqrt{13}$

•Classificação:

$\sf R - r < d < R + r \\ \sf 4 - 3 < \sqrt{13} < 4 + 3 \\ \sf 1 < \sqrt{13} < 7 \leftarrow secantes$

Item b):

Vamos fazer as mesmas coisas que fizemos no item anterior:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} = 18$

$\sf a = 0$

$\sf b = 0$

$\sf r {}^{2} = 18 \\ \boxed{\sf r = \sqrt{18} \: \: ou \: \: 3 \sqrt{2}}$

$\begin{cases} \sf C_1(0,0) \\ \sf r = 3\sqrt{2} \end{cases}$

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} + 20x - 10y + 124 = 0$

$\sf20x = - 2ax \\ \sf a = \frac{20x}{ - 2x} \\ \sf a = - 10$

$\sf - 10y = - 2by \\ \sf b = \frac{ - 10y}{ - 2y} \\ \sf b = 5$

$\sf k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 124 = ( - 10) {}^{2} + (5) {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 124 = 100 + 25 - r {}^{2} \\ \sf 124 = 125 - r {}^{2} \\ \sf 124 - 125 = - r {}^{2} .( - 1) \\ \sf - 1 = - r {}^{2} .( - 1) \\ \sf r {}^{2} = 1 \\ \sf r = \sqrt{1} \\ \sf r = 1$

$\begin{cases} \sf C_1( - 10,5) \\ \sf r = \sqrt{1} \end{cases}$

$\begin{cases} \sf C_1 (0,0)\\ </p><p> \sf C_2 ( - 10,5)\end{cases} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 0 \: \: \: \: y_1 = 0 \\ \sf x_2 = -10 \: \: \: \sf y_2 = 5 \end{cases}$

$\sf D = \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} } \\ \sf D = \sqrt{ (- 10 - 0) {}^{2} + (5 - 0) {}^{2} } \\ \sf D = \sqrt{( - 10) {}^{2} +( 5) {}^{2} } \\ \sf D = \sqrt{100+ 25} \\ \sf D = \sqrt{125} \: \: ou \: \: 5 \sqrt{5}$

$\sf D > R + r \\ \sf 5 \sqrt{5} > 1 + 3\sqrt{2} \leftarrow \: externas$