Question

Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0.

a) f(x)=√x
x0=4

b) f(x)=1/2
x0=1

c)f(x)=x²-3x
x0=4

(Respostas: a) m=1/4; equação da reta tangente: y=x/4 + 1. b) m=-1; equação da reta tangente: y=-x+2. c) m=5; equação da reta tangente: y=5x-16| Por favor, enviem com a resolução, eu sei as respostas, eu não sei é a resolução)​

Answer 1

Resposta:

Vide explicação

Explicação passo-a-passo:

Primeiro precisamos saber qual a equação de reta tangente num ponto x₀, calculamos da seguinte forma, seja f uma função, a reta tangente num ponto x₀ é definida como:

$r:f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Essa equação pode ser deduzida através da definição:

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L$

Mas não farei isso.

Vamos apenas usar a primeira definição que eu dei, perceba que precisamos saber a derivada de f para fazer isso, como todos são polinômios vou relembrar a derivada de polinomio também, para um polinomio de grau n temos:

$P(x) = a_0 + a_1\cdot x + a_2\cdot x^2 + a_3\cdot x^3 + \cdots a_n\cdot x^n\\\\P'(x) = a_1\cdot x^{1-1} + 2a_2\cdot x^{2-1} + 3a_3\cdot x^{3-1} \cdots na_n\cdot x^{n-1}\\\\\therefore P'(x) = a_1+ 2a_2\cdot x + 3a_3\cdot x^{2} +\cdots + na_n\cdot x^{n-1}$

Ou seja, num monomio seria:

$f(x) = x^n\\\\f'(x) = nx^{n-1}$

Agora podemos continuar.

a)

$f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\\\\f'(x) = \frac{1}{2}x^{ \frac{1}{2}-1} \longrightarrow f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\\\f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\\\\\text{Portanto}\\f(x) = \sqrt{x} \\\\f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Aplicando a fórmula

$r:f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\\\r:f(4)+f'(4)(x-4)\\\\r:\sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(x-4)\\\\r: 2 + \frac{1}{2\cdot2}(x-4)\\\\ r: 2 + \frac{1}{4}(x-4)\\\\ r: 2 + \frac{x}{4}-1\\\\ r: \frac{x}{4}+1\\\\\\ \boxed{r: \frac{x}{4}+1}$

b)

$f(x) = \frac{1}{2}\\\\f'(x) = 0$

Não existe reta tangente

Pode ser que teve um erro de digitação na hora de colocar a função, se tiver respondo nos comentários da maneira correta depois.

c)

$f(x) = x^2-3x\\\\f'(x) = 2x^{2-1}-3x^{1-1}\longrightarrow 2x - 3\\\\ \text{Portanto}\\f(x) = x^2-3x\\\\f'(x) = 2x-3$

Aplicando a fórmula

$r:f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\\\r:f(4)+f'(4)(x-4)\\\\r:(4^2-3\cdot 4)+(2\cdot 4 - 3)(x-4)\\\\r:(16-12)+(8 - 3)(x-4)\\\\r:4+5(x-4)\\\\r:4+5x-20\\\\r:5x-16$

Qualquer dúvida respondo nos comentários.