Question

Determine (e^x+e^-x)dy/dx=y²​

Answer 1

Resposta:

(e^x+e^-x)dy/dx=y²​

y⁻² dy = 1/(eˣ +e⁻ˣ)  dx

∫y⁻² dy = ∫ 1/(eˣ +e⁻ˣ)  dx

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∫y⁻² dy  =y^(-2+1)/ (-2+1)  + c

=y⁻¹/(-1) + c

= -1/y + c

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∫ 1/(eˣ +e⁻ˣ)  dx

∫ 1/(eˣ +1/eˣ)  dx

∫ eˣ/(e²ˣ +1)  dx

fazendo u = eˣ   ==> du= eˣ dx

∫ eˣ/(u² +1)  du/eˣ

∫ 1/(u² +1)  du

fazendo u=tan(β)  ==>du=sec²(β) dβ

∫sec²(β)/(tan²β) +1)     dβ

### sen²(β) +cos²(β) = 1

### sen²(β)/cos²(β)  +cos²(β) /cos²(β) = 1/cos²(β)

### tan²(β)  +1 = sec²(β)

∫sec²(β)/sec²(β)     dβ

∫    dβ  =  β + C

Sabemos que  u=tan(β)  ==> β =arctan(u) , então temos:

∫ 1/(u² +1)  du  = arctan(u) + c

Sabemos que u = eˣ  , então temos:

∫ eˣ/(e²ˣ +1)  dx   =  arctan(eˣ) + c

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-1/y + c'   =   arctan(eˣ) + c ''      ...fazendo c''-c'= k é uma const.

-1/y   =   arctan(eˣ) + k

y = -1/(arctan(eˣ) + k)