Question

Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções
z=x²+y²-6x-2y+7

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{z~tem~um~m\'inimo~absoluto~em~(3,~1)}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos determinar e classificar os pontos críticos desta função. Para isso, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função: $z=x^2+y^2-6x-2y+7$.

Para encontrarmos os pontos críticos desta função, existem dois critérios:

• $\dfrac{\partial z}{\partial x}=0$ e  $\dfrac{\partial z}{\partial y}=0$.
• Uma das derivadas parciais da função não existe (lembre-se da definição de derivada parcial por limite).

Calculando a derivada parcial de primeira ordem em respeito à variável $x$, temos:

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2-6x-2y+7)$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

Sabendo que ao calcularmos a derivada parcial da função em respeito a uma das variáveis, consideramos as outras variáveis como constantes, temos:

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}(x^2)+\dfrac{\partial }{\partial x}(y^2)+\dfrac{\partial }{\partial x}(-6x)+\dfrac{\partial }{\partial x}(-2y)+\dfrac{\partial }{\partial x}(7)$

Calcule a derivada da potência e das constantes

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x-6$

Igualamos esta derivada parcial a zero:

$2x-6=0$

Some $6$ em ambos os lados da equação

$2x=6$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x=3$

Então, calcule a derivada parcial da função em respeito à variável $y$

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}(x^2)+\dfrac{\partial }{\partial y}(y^2)+\dfrac{\partial }{\partial y}(-6x)+\dfrac{\partial }{\partial y}(-2y)+\dfrac{\partial }{\partial y}(7)$

Calcule a derivada da potência e das constantes

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2y-2$

Igualamos esta derivada parcial a zero:

$2y-2=0$

Some $2$ em ambos os lados da equação

$2y=2$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$y=1$

Dessa forma, observa-se que esta função apresenta apenas um ponto crítico: $(3,~1)$.

Então, podemos classificar este ponto de duas maneiras: pelo método de completar quadrados e utilizando o teste da segunda derivada e a matriz Hessiana.

Some e subtraia $10$ na função

$z=x^2+y^2-6x-2y+7+\bold{10-10}$

Considere $10=9+1$, de forma que possamos reorganizar os termos

$z=x^2+y^2-6x-2y+7+\bold{9+1-10}\\\\\\ z=x^2-6x+\bold{9}+y^2-2y+\bold{1}+7\bold{-10}$

Então, fatore os trinômios quadrados perfeitos

$z=x^2+y^2-6x-2y+7+\bold{9+1-10}\\\\\\ z=(x-3)^2+(y-1)^2+7\bold{-10}$

Some os termos semelhantes

$z=(x-3)^2+(y-1)^2-3$

Veja que:

$z=\underbrace{(x-3)^2}_{\geq0}+\underbrace{(y-1)^2}_{\geq0}-3$

Dessa forma, o valor mínimo da função $z=-3$.

Assim, o ponto de mínimo da função $z$ é dado por $(3,~1,\,-3)$.

Então, realizamos o teste da segunda derivada e a matriz Hessiana:

Seja a matriz Hessiana $D=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}&\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\\\\ \dfrac{\partial^2z}{\partial y\partial x}&\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}\\\end{vmatrix}$. Sabe-se que:

• Se $D>0$ e $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}(a,~b)>0$, $(a,~b)$ , $z$ tem um mínimo relativo em $(a,b)$.

• Se $D>0$ e $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}(a,~b)<0$, $(a,~b)$ , $z$ tem um máximo relativo em $(a,b)$.
• Se $D<0$, $z$ tem um ponto de sela em $(a,~b)$.

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem da função, temos

$D=\begin{vmatrix}2&0\\0&2\\\end{vmatrix}$

Calculando este determinante, temos

$D=4$

Logo, observa-se que $D>0$. Visto que $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}>0$, afirma-se que a função $z$ tem um mínimo relativo em $(3,~1)$.

Substituindo este ponto na função, temos

$z=3^2+1^2-6\cdot3-2\cdot1+7$

Calcule as potências e multiplique os valores

$z=9+1-18-2+7$

Some os valores

$z=-3$

Como se queria demonstrar.

Observe o gráfico em anexo: este é um paraboloide. Ele apresenta um mínimo absoluto em $(3,~1)$, como calculado anteriormente.