Question

Determine dois números não negativos, de soma igual a M, de modo que tenham um produto máximo.

Answer 1

Comecemos por traduzir este problema para linguagem matemática:

$\forall\;x,y\in\mathbb{R}_0^+:x+y=M$ , ou seja, a soma de 2 quaisquer valores não negativos é M.

Podemos então dizer que:

$x+y=M\;\;\;\;\;e\;\;\;\;\;y=M-x$

Seja P dado por:

    $P=xy\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P=x(M-x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P=xM-x^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P=-x^2+Mx$

Calculemos o máximo desta função P, que será o produto máximo entre x e y.

Para isso, lembremo-nos de que a monotonia de uma função está relacionada com o sinal da sua 1ª derivada.

$P'(x)=(-x^2+Mx)'=-2x+M$

    $P'(x)=0\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(0)=0^2+M\times0=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P'(0)=-2\times0+M=M$

$\Leftrightarrow -2x+M=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -2x=-M\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-M}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{M}{2}$

 x    |  0  |      |  $\frac{M}{2}$  |     +∞      Por análise desta tabela de sinal,

P'(x) |  M  |  +  |  0  |     -          conclui-se que o máximo de P(x)

P(x)  |  0  | $\nearrow$ |Máx|   $\searrow$           tem abcissa  $x=\frac{M}{2}$.

Vamos usar este valor para descobrir qual o Produto Máximo.

    $P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\left(\dfrac{M}{2}\right)^2+M\left(\dfrac{M}{2}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\dfrac{M^2}{2^2}+\dfrac{M^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\dfrac{M^2}{4}+\dfrac{M^2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\dfrac{M^2}{4}+\dfrac{2M^2}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=\dfrac{-M^2+2M^2}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=\dfrac{M^2}{4}$

Podemos, agora, definir um sistema que nos permita determinar os valores de x e y.

    $\begin{cases}x+y=M\\\\x\times y=\dfrac{M^2}{4}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-x\\\\x\times(M-x)=\dfrac{M^2}{4}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-x\\\\-x^2+Mx=\dfrac{M^2}{4}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-x\\\\-x^2+Mx-\dfrac{M^2}{4}=0\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-\dfrac{M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{2M}{2}-\dfrac{M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{2M-M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}$

Resposta:   $(x\;;\;y)=\left(\dfrac{M}{2}\;;\;\dfrac{M}{2}\right)$

    Cálculos Auxiliares    

    $-x^2+Mx-\dfrac{M^2}{4}=0$

    $x=\dfrac{-M\pm\sqrt{M^2-4\times(-1)\times\left(-\dfrac{M^2}{4}\right)}}{2\times(-1)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm\sqrt{M^2+4\times\left(-\dfrac{M^2}{4}\right)}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm\sqrt{M^2-M^2}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm\sqrt{0}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm0}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-M}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{M}{2}$

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