Question

determine dois numeros inteiros positivos que a soma é 20 e cujo o produto deles é o maximo

Answer 1

bom, vamos supor os dois números sendo x e y, então:
P = xy // P = produto

outra informação foi da soma, ela tem que dar 20, sendo assim:
x + y = 20 // vamos isolar uma variável para substituir no produto
y = 20 - x 

substituindo em P:
P(x) = x(20 - x) // agora teremos o produto em função de uma só variável
P(x) = 20x - x² // já que o produto tem que ser máximo, é ele que vamos otimizar
dP/dx = 20 - 2x // vamos igualar a 0, para encontrar os pontos críticos
20 - 2x = 0
2x = 20
x = 10 // agora falta verificar se x = 10 é ponto de máximo, ou seja, P(x), alcança seu valor máximo

dP/dx = 20 - 2x
d²P/dx² = -2
d²P/dx² (10) < 0 , então x = 10 é ponto de máximo, agora para encontrar o y basta aplicar naquela primeira fórmula que tínhamos:

x + y = 20
10 + y = 20
y = 10

x = 10 e y = 10, esses são os números cuja soma é 20 e o produto é máximo (maior).