Question

determine determine as raízes imaginárias das seguintes equações.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) x² + 9 = 0

   usando a fórmula quadrática

       

         $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}$

   

   e tendo: a = 1 ; b = 0 ; c = 9 , fica

        $x=\frac{-0\pm\sqrt{0^{2}-4.1.9}}{2.1}$  →  $x=\frac{\pm\sqrt{-36}}{2}$

   tendo Δ = -36 ($\sqrt{-36}$), fica

        $\sqrt{-36}=\sqrt{-1.36}=\sqrt{-1}.\sqrt{36}$

   como -1 representa o símbolo i² (do número complexo), fica: -1 = i².

   Fatorando o 36 = 6², fica

        $\sqrt{-1}.\sqrt{36}=\sqrt{i^{2}}.\sqrt{6^{2}}=i.6=6i$

   substituindo na fórmula quadrática, fica

        $x=\frac{\pm\sqrt{-36}}{2}$  →  $x=\frac{\pm6i}{2}$

        $x_{1}=-\frac{6i}{2}$  →  $x_{1}=-3i$

        $x_{2}=\frac{6i}{2}$  →  $x_{2}=3i$

   resposta:  $x_{1}=-3i$     e     $x_{2}=3i$

----------------------------------------------------------------------------------------

b) x² + 10 = 0

   usando a fórmula quadrática

        $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}$

   e tendo: a = 1 ; b = 0 ; c = 10 , fica

        $x=\frac{-0\pm\sqrt{0^{2}-4.1.10}}{2.1}$  →  $x=\frac{\pm\sqrt{-40}}{2}$

   tendo Δ = -40 ($\sqrt{-40}$), fica

        $\sqrt{-40}=\sqrt{-1.40}=\sqrt{-1}.\sqrt{40}$

   como -1 representa o símbolo i² (do número complexo), fica: -1 = i².

   Fatorando o 40 = 2³ · 5 = 2² · 2 · 5 = 2² · 10, fica

        $\sqrt{-1}.\sqrt{40}=\sqrt{i^{2}}.\sqrt{2^{2}.10}=i.2\sqrt{10}=2\sqrt{10}i$

   substituindo na fórmula quadrática, fica

        $x=\frac{\pm\sqrt{-40}}{2}$  →  $x=\frac{\pm2\sqrt{10}i}{2}$

        $x_{1}=-\frac{2\sqrt{10}i}{2}$  →  $x_{1}=-\sqrt{10}i$

        $x_{2}=\frac{2\sqrt{10}i}{2}$  →  $x_{2}=\sqrt{10}i$

   resposta: $x_{1}=-\sqrt{10}i$     e     $x_{2}=\sqrt{10}i$

----------------------------------------------------------------------------------------

c) 2x² - 6x + 9 = 0

   usando a fórmula quadrática

        $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}$

   e tendo: a = 2 ; b = -6 ; c = 9 , fica

        $x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4.2.9}}{2.2}$  →  $x=\frac{6\pm\sqrt{36-72}}{4}$  →  $x=\frac{6\pm\sqrt{-36}}{4}$

   tendo Δ = -36 ($\sqrt{-36}$), fica

        $\sqrt{-36}=\sqrt{-1.36}=\sqrt{-1}.\sqrt{36}$

   como -1 representa o símbolo i² (do número complexo), fica: -1 = i².

   Fatorando o 36 = 6², fica

        $\sqrt{-1}.\sqrt{36}=\sqrt{i^{2}}.\sqrt{6^{2}}=i.6=6i$

   substituindo na fórmula quadrática, fica

        $x=\frac{6\pm\sqrt{-36}}{4}$  →  $x=\frac{6\pm6i}{4}$

        $x_{1}=\frac{6-6i}{4}$  →  $x_{1}=\frac{2(3-3i)}{4}$  →  $x_{1}=\frac{3-3i}{2}$

        $x_{2}=\frac{6+6i}{4}$  →  $x=\frac{2(3+3i)}{4}$  →  $x_{2}=\frac{3+3i}{2}$

   resposta:  $x_{1}=\frac{3-3i}{2}$     e     $x_{2}=\frac{3+3i}{2}$

----------------------------------------------------------------------------------------

d) x² - 10x + 34 = 0

   usando a fórmula quadrática

        $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}$

   e tendo: a = 1 ; b = -10 ; c = 34 , fica

        $x=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^{2}-4.1.34}}{2.1}$  →  $x=\frac{10\pm\sqrt{100-136}}{2}$  →  $x=\frac{10\pm\sqrt{-36}}{2}$

   tendo Δ = -36 ($\sqrt{-36}$), fica

        $\sqrt{-36}=\sqrt{-1.36}=\sqrt{-1}.\sqrt{36}$

   como -1 representa o símbolo i² (do número complexo), fica: -1 = i².

   Fatorando o 36 = 6², fica

        $\sqrt{-1}.\sqrt{36}=\sqrt{i^{2}}.\sqrt{6^{2}}=i.6=6i$

   substituindo na fórmula quadrática, fica

        $x=\frac{10\pm\sqrt{-36}}{2}$  →  $x=\frac{10\pm6i}{2}$

        $x_{1}=\frac{10-6i}{2}$  →  $x_{1}=\frac{2(5-3i)}{2}$  →  $x_{1}=5-3i$

        $x_{2}=\frac{10+6i}{2}$  →  $x_{2}=\frac{2(5+3i)}{2}$  →  $x_{2}=5+3i$

   resposta:  $x_{1}=5-3i$     e     $x_{2}=5+3i$