Question

Determine d(Q, r) para Q(1, 2, 3) e r: {x - y + 2z + 1 = 0 e 2x + y - z + 3 = 0.

Answer 1

A distância entre o ponto Q e a reta r é 6√14/7.

Primeiramente, vamos determinar as equações paramétricas da reta r.

Somando as equações x - y + 2z = -1 e 2x + y - z = -3, obtemos 3x + z = -4, ou seja, z = -3x - 4.

Considerando x = t, então z = -4 - 3t. Assim:

t - y + 2(-4 - 3t) = -1

t - y - 8 - 6t = -1

-5t - 8 - y = -1

y = -7 - 5t.

As equações paramétricas da reta r são:

{x = t

{y = -7 - 5t

{z = -4 - 3t.

Os pontos da reta r são da forma P = (t, -7 - 5t, -4 - 3t). Vamos definir o vetor PQ:

PQ = (1, 2, 3) - (t, -7 - 5t, -4 - 3t)

PQ = (1 - t, 2 + 7 + 5t, 3 + 4 + 3t)

PQ = (1 - t, 9 + 5t, 7 + 3t).

Esse vetor PQ tem que ser perpendicular ao vetor direção da reta r, ou seja, ao vetor (1, -5, -3). Isso significa que o produto interno é igual a zero:

1.(1 - t) + (-5).(9 + 5t) + (-3).(7 + 3t) = 0

1 - t - 45 - 25t - 21 - 9t = 0

-35t - 65 = 0

35t = -65

t = -13/7.

Assim, o ponto P é igual a:

P = (-13/7, -7 - 5.(-13/7), -4 - 3.(-13/7))

P = (-13/7, -7 + 65/7, -4 + 39/7)

P = (-13/7, 16/7, 11/7).

Agora, basta calcular a distância entre P e Q:

d² = (-13/7 - 1)² + (16/7 - 2)² + (11/7 - 3)²

d² = (-20/7)² + (2/7)² + (-10/7)²

d² = 400/49 + 4/49 + 100/49

d² = 504/49

d = √504/7

d = 6√14/7.