Question

determine cos(2arcsen2/3)

Answer 1

Solução:  

Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem:

sen2w + cos2w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria).

Substituindo o valor de senw vem:

(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9.

Logo:

cosw = ± Ö 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de

–90º a +90º,  intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +Ö 5 /3.  

Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (Ö 5/3)] = 2/Ö 5

Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2Ö 5)/ 5 que é o valor de y procurado.

2. Calcular o valor de y = sen(arc tg 3/4).

Solução:  

Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever:  

tgw = 3/4 Þ senw / cosw = 3/4 Þ senw = (3/4).cosw

Da relação fundamental da Trigonometria, sen2w + cos2w = 1, vem, substituindo o valor de senw:

[(3/4).cosw]2 + cos2w = 1 \ 9/16.cos2w + cos2w = 1 \ 25/16 . cos2w = 1

cos2w = 16/25 Þ cosw = ± 4/5.

Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo

–90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo.  

Logo, cosw = + 4/5.

Mas, senw = (3/4).cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto:

y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada.