Determine, com o número mínimo de cores possível, de quantas maneiras podemos colorir o mapa das regiões do Brasil, sabendo que regiões com fronteira em comum não podem ter a mesma cor. ERRATA: O enunciado foi modificado. A opção apresentada no material impresso está incorreta.
3
B
4
C
6
D
12
24
Soluções para a tarefa
Primeiramente, vamos determinar o número mínimo de cores que podemos utilizar. Ao pintar a Região Norte com uma cor, temos que usar uma segunda cor na Região Nordeste e uma terceira cor na Região Centro-Oeste, pois todos fazem fronteira entre si. Como a Região Sudeste faz fronteira com Nordeste e Centro-Oeste, ela deve utilizar a mesma cor que a Região Norte. Por fim, a Região Sul faz fronteira com Sudeste e Centro-Oeste. Logo, deve utilizar a mesma cor que a Região Nordeste. Portanto, o mínimo de cores serão 3 cores.
Agora, vamos analisar de quantas maneiras podemos utilizar. Escolhendo uma cor para a Região Norte, temos as outras duas para Nordeste e Centro-Oeste e as Regiões Sudeste e Sul serão consequência dessas duas. Contudo, para cada cor da Região Norte, podemos fazer duas combinações entre Nordeste e Centro-Oeste, trocando elas entre si. Uma vez que existem 3 cores diferentes, existem 6 combinações diferentes.
Portanto, a alternativa correta é: C.
Existem C) 6 maneiras diferentes de colorir o mapa do Brasil utilizando a mínima quantidade de cores.
De quantas maneiras o mapa do Brasil pode ser colorido?
Primeiro devemos achar a quantidade mínima de cores que deve ser utilizada para duas regiões com fronteira em comum não ser coloridas com a mesma cor.
Observando o mapa, as fronteiras comuns são compartilhadas por até três regiões, portanto, deve-se utilizar no mínimo três cores diferentes.
Utilizando uma cor (das três cores que devem se utilizar) para a região nordeste, é possível utilizar a segunda cor para as regiões Norte e Sudeste e a terceira para a região Centro-Oeste, ou vice-versa.
Então, para cada cor (das três possíveis) utilizada na região Nordeste, existem duas maneiras de colorir as demais, então, existem 2*3=6 maneiras diferentes de colorir o mapa do Brasil.
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