Question

Determine, caso existam, os zeros reais de cada função a seguir:
a) f(x) = 5x2 + 2x - 3
b) f(x) = x2 - 6x + 9
c) f(x) = 3x2 – X + 2
d) f(x) = - 9x2 + 12x - 4
e) f(x) = - 8x2 + 10x​

Answer 1

Resposta:

a ) x' = 3/5     x'' = - 1

b ) x' =  3   ∨   x'' =  3   só tem uma raiz que se diz dupla

c ) nenhuma raiz, pertencente aos números reais

d ) x = 2/3  raiz dupla

e ) x' = 0    ∨  x'' = 5/4

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Determine, caso existam, os zeros reais de cada função a seguir:

a) f(x) =  5x² + 2x - 3

b) f(x) =  x² - 6x + 9

c) f(x) =  3x² - x + 2

d) f(x) = - 9x² + 12x - 4

e) f(x) = - 8x² + 10x

Resolução:

a) f(x) =  5x² + 2x - 3    

Fórmula de Bhaskara neste caso:

x = ( - b ± √Δ ) /2a

a =  5

b =  2

c = - 3

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 2² - 4 * 5 * ( - 3 ) = 4 +60 = 64

√Δ = √64 = 8

x' = ( - 2 + 8 ) / ( 2*5 ) = 6/10 = 3/5

x'' = ( - 2 - 8 ) / 10   = - 10 / 10 = - 1  

b) f(x) =  x² - 6x + 9

Não precisa resolver pela Fórmula de Bhaskara

Esta função é o desenvolvimento de um produto notável.

Dicas para esse produto notável se mostrar.

Faça-lhe perguntas .

Quantos termos tens ?

Tenho 3

Há algum ao quadrado e outro que também possa ser elevado ao quadrado e ambos têm sinal positivo ?

Há sim. o " + x² " e o 9 que é "+ 3² "

E o terceiro termo não será duas vezes o produto da base do 1º termo ao quadrado pela base do 2º termo ao quadrado ? É . 2*x*3 .

E que sinal tem esse "2*x*3" . Tem sinal negativo.

Temos as respostas obtidas dentro do desejável.

A nossa função é o desenvolvimento de

( x - 3 )² = f(x)

Nota → o sinal entre o "x" e o 2" é o sinal de termo que não está elevado ao quadrado. Neste caso ´"menos"

( x - 3 )² = 0

Olhe bem para aqui. Temos um produto igual a zero.

( x - 3 ) * ( x - 3 ) = 0

Um produto de fatores é nulo quando, pelo menos um deles for nulo.

Fator é um elemento de uma multiplicação.

( x - 3  = 0 )   ∨   ( x - 3 ) = 0

x =  3   ∨   x =  3   só tem uma raiz que se diz dupla

c) f(x) =  3x² - x + 2

a =  3

b = - 1

c =  2

Δ = b² - 4 * a * c  = ( - 1 )² - 4 * 3 * 2 = 1 -24 = - 23

Temos o binómio discriminante ( o Δ ) negativo.

Quando assim é , para tudo.

A equação não tem raízes reais

d) f(x) = - 9x² + 12x - 4

Vamos resolver pelo mesmo produto notável aplicado na alínea b)

- 9x² + 12x - 4  = 0

Multiplicar todos os termos por "- 1 "

+ 9x² - 12x + 4  = 0

+ 9x² - 12x + 2²  = 0

+ 3²x² - 12x + 2²  = 0

( 3x)² - 2 * (3x) * 2 + 2² = 0

( 3x - 2 )² = 0

( 3x - 2 ) = 0     ∨     ( 3x - 2 ) = 0

3x = 2   ∨     3x = 2

x = 2/3  V   x = 2/3

e) f(x) = - 8x² + 10x

Não precisa resolver por Fórmula de Bhaskara

Esta equação só tem os termos em "x²" e em "x".

Pode-se decomporem fatores.

- 8x² + 10x  = - (2 * 2 * 2* x * x) + 5 * 2 * x = 0

⇔  - 2x * (  4 x - 5 ) = 0

⇔ - 2 x = 0    ∨ 4x - 5 = 0

⇔  x = 0     ∨  4x =  5

⇔  x = 0    ∨  x =  5/4  

+++++++++++++++++++++++++++

Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir         (⇔) equivalente a          ( V )   ou    (++++++++++++++++++++++++++++

Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.

Answer 2

As raizes são a) x1 = -1 e x2 = 3/5, b) x1 = x2 = 3, c) as raizes são complexas, d) x1  = x2 = 2/3, e) x1  = 0 e x2 = 5/4.

Para resolvermos essa questão, devemos saber que uma equação do segundo grau possui o formato f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são seus coeficientes.

Para encontrarmos as raizes de uma equação do segundo grau, que são os valores de x que tornam a equação igual a zero, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Essa fórmula possui o formato $\bf{raiz_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$, onde a, b e c são os coeficientes da função f.

Com isso, para cada uma das equações, temos:

a) f(x) = 5x² + 2x - 3

Coeficientes são a = 5, b = 2, c = -3.

Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara, obtemos que as raizes são x1 = -1 e x2 = 3/5.

b) f(x) = x² - 6x + 9

Coeficientes são a = 1, b = -6, c = 9.

Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara, obtemos que as raizes são x1 = x2 = 3.

c) f(x) = 3x² - x + 2

Coeficientes são a = 3, b = -1, c = 2.

Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara, obtemos que as raizes não são reais, mas complexas.

d) f(x) = - 9x² + 12x - 4

Coeficientes são a = -9, b = 12, c = -4.

Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara, obtemos que as raizes são x1  = x2 = 2/3.

e) f(x) = - 8x² + 10x​

Coeficientes são a = -8, b = 10, c = 0.

Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara, obtemos que as raizes são x1  = 0 e x2 = 5/4.

Portanto, concluímos que as raizes são a) x1 = -1 e x2 = 3/5, b) x1 = x2 = 3, c) as raizes são complexas, d) x1  = x2 = 2/3, e) x1  = 0 e x2 = 5/4.

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