Question

Determine as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados abaixo

Answer 1

Resposta:

-π

Explicação passo-a-passo:

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1. Faça a parametrização da curva:

$\mathsf{x(t)=sen\,t}\\\\\mathsf{y(t)=cos\,t}\\\\\mathsf{z(t)=\pi}$

2. Calcule as derivadas:

$\mathsf{dx=cos\,t\,dt}\\\\\mathsf{dy=-sen\,t\,dt}\\\\\mathsf{dz=0}$

3. Substitua na integral:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \oint_C(xy+z)\,dx+(x-y)\,dy+4z\,dz=\\}\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}(sen\,t\,cos\,t+\pi)cos\,t\,dt+(sen\,t -cos\,t)(-sen\,t)\,dt}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}(sen\,t\,cos^2\,t+\pi\,cos\,t)\,dt+(-sen^2\,t+sen\,t\,cos\,t)\,dt}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}sen\,t\,cos^2\,t\,dt+\pi\int_0^{2\pi}cos\,t\,dt-\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1-cos\,2t)\,dt+\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,2t\,dt}$

$=\mathbb{I}_1+\mathbb{I}_2+\mathbb{I}_3+\mathbb{I}_4$

4. Calcule cada uma das integrais separadamente:

$\mathbb{I}_1=\mathsf{\displaystyle \int_0^{2\pi}sen\,t\,cos^2\,t\,dt=-\dfrac{cos^3\,t}{3}\bigg|_0^{2\pi}=-\dfrac{1}{3}(1-1)=0}$

$\mathbb{I}_2=\mathsf{\displaystyle \pi\int_0^{2\pi}cos\,t\,dt=\pi\cdot sen\,t\bigg|_0^{2\pi}=\pi(0-0)=0}$

$\mathbb{I}_3=\mathsf{\displaystyle -\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1-cos\,2t)\,dt=-\dfrac{1}{2}\cdot \bigg[t-\dfrac{sen\,2t}{2}\bigg]_0^{2\pi}=-\dfrac{1}{2}\cdot(2\pi-0)=-\pi}$

$\mathbb{I}_4=\mathsf{\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}sen\,2t\,dt=-\dfrac{1}{2}\cdot \bigg[\dfrac{cos\,2t}{2}\bigg]_0^{2\pi}=-\dfrac{1}{4}(1-1)=0}$

5. Substituindo na expressão original:

$\mathbb{I}=\mathbb{I}_1+\mathbb{I}_2+\mathbb{I}_3+\mathbb{I}_4\\\\\mathbb{I}=\mathsf{0+0-\pi+0}\\\\\mathbb{I}=\mathsf{-\pi}$

6. Portanto:

$\boxed{\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \oint_C(xy+z)\,dx+(x-y)\,dy+4z\,dz}=\mathsf{-\pi}}$

Conclusão: o valor da integral é -π.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly