Question

Determine as retas que contém o Ponto P ( 0 , 4 ) e tangenciam a circunferencia de raio 2 e centro na origem

Answer 1

A equação reduzida da circunferência de centro na origem $C(0;\,0)$ e com raio $r=2$ é

$x^{2}+y^{2}=2^{2}\\ \\ x^{2}+y^{2}=4$


Seja $t$ a reta tangente à circunferência acima, e que passa pelo ponto $P(0;\,4).$ Se $P$ é um ponto da reta, então podemos escrever a sua equação como

$t:\;a(x-x_{_{P}})+(y-y_{_{P}})=0\\ \\ t:\;a(x-0)+(y-4)=0\\ \\ t:\;ax+y-4=0$


Se $t$ é tangente à circunferência, então a distância do centro $C(0;\,0)$ até a reta $t$ é igual ao raio da circunferência:

(fórmula da distância do ponto à reta)

$d_{C,\,t}=r\\ \\ \dfrac{|ax_{_{C}}+y_{_{C}}-4|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{|a\cdot 0+0-4|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{|-4|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{4}{\sqrt{a^{2}+1}}=2\\ \\ \\ 2\sqrt{a^{2}+1}=4\\ \\ \sqrt{a^{2}+1}=\dfrac{4}{2}\\ \\ \\ \sqrt{a^{2}+1}=2$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$(\sqrt{a^{2}+1})^{2}=2^{2}\\ \\ a^{2}+1=4\\ \\ a^{2}=4-1\\ \\ a^{2}=3\\ \\ a=\pm\sqrt{3}\\ \\ a=-\sqrt{3}\;\;\text{ ou }\;\;a=\sqrt{3}$


Então, temos duas retas tangentes:

$\boxed{\begin{array}{rcl} t_{1}:\;-\sqrt{3}\,x+y-4=0&\;\text{ e }\;&t_{2}:\sqrt{3}\,x+y-4=0 \end{array}}$